Matematická analýza I - NOFY151

• Anglický název: Mathematical Analysis I
• Podoba výuky: přednáška+cvičení
• Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Počet semestrů výuky: 1
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 9
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/3, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Maximální kapacita předmětu: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Forma uskutečňování: prezenční
• Další informace: https://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/NOFY151-zs25
• Možnost opakovaného zápisu: 2 / 2 / 2 / 2
• Garant: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc.; doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D.; doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D.
• Vyučující: RNDr. Silvie Černá, Ph.D.; Bc. Jan Engler; Mgr. Lukáš Krump, Ph.D.; doc. RNDr. Dušan Pokorný, Ph.D.; prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc.; doc. RNDr. Ondřej Souček, Ph.D.; RNDr. Karel Tůma, Ph.D.; RNDr. Václav Vlasák, Ph.D.
• Třída: Fyzika; M Bc. MOD > Povinné
• Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky
• Neslučitelnost : NMAF051
• Záměnnost : NMAF051
• Je neslučitelnost pro: NMAF051
• Je záměnnost pro: NMAF051
• Ve slož. prerekvizitě: NMAG204, NMAG211, NMAG212, NMMA201, NMMA204, NMMA205, NMMA301, NMNM201
• Ve slož. korekvizitě pro: NMSA211

Anotace

čeština

První část základního kurzu matematiky pro bakalářské studium fyziky. Probírají se základy diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné.

Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (20.05.2019)

angličtina

First part of the basic course of mathematics for the students of general physics (bachelor study). The program consists of basics on differential and integral calculus, together with theoretical background.

Poslední úprava: Kudrnová Hana, Mgr. (20.05.2019)

Cíl předmětu

čeština

První část základního kurzu matematiky pro bakalářské studium fyziky a bakalářské studium matematického modelování. Probírají se základy diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné.

Poslední úprava: Pokorný Dušan, doc. RNDr., Ph.D. (30.08.2026)

angličtina

First part of the fundamental course of mathematics for the students of physics (bachelor study) and mathematical modelling (bachelor study). The course focuses on differential and integral calculus of functions of one variable and includes a detailed theoretical background.

Poslední úprava: Málek Josef, prof. RNDr., CSc., DSc. (28.09.2019)

Podmínky zakončení předmětu

Zápočet: bude udělen za úspěšné napsání zápočtových testů a aktivní účast na cvičení. Podrobnosti ohledně aktivity stanoví cvičící (lze získat 10 bodů), podrobnosti ohledně zápočtových testů budou uvedeny v Teams skupině k přednášce (a případně na stránkách přednášejícího), přičemž podmínky budou jednotné pro všechna cvičení (za testy bude možné získat 30 bodů). Podmínkou pro získání zápočtu bude obdržení alespoň 20 bodů z celkového počtu 40 možných.

V případě nezískání dostatečného počtu bodů za aktivitu a zápočtové testy lze zápočet získat napsáním početní části zkouškové písemky na alespoň polovinu bodů (ta se ale v tomto případě píše jen za účelem získání zápočtu, nelze ji započítat do zkoušky). Na získání zápočtu touto opravnou formou jsou dva pokusy (během prvních dvou řádných zkouškových termínů).

Podmínkou účasti na zkoušce je udělený zápočet ze cvičení.

Zkouška: bude sestávat ze dvou částí, početní a teoretické. V početní části bude možno získat celkem 36 bodů, v teoretické části to bude 24 bodů, celkem tedy 60 bodů. Pro úspěšné zvládnutí zkoušky je nutné získat alespoň 18 bodů z početní části a alespoň 12 bodů z teoretické části. Počet získaných bodů, podle kterých bude určena známka, bude maximum z následujících dvou hodnot:

• počet bodů získaných z početní a teoretické části,

• (počet bodů získaných z početní a teoretické části + počet bodů získaných na cvičení)*0,6.

Z této hodnoty bude pak známka určena podle klíče:

30-40 dobře,

41-50 velmi dobře,

51-60 výborně.

Kdo z početní části získá alespoň 28 bodů, ji už při případných dalších termínech nebude muset opakovat a může psát jen část teoretickou.

Poslední úprava: Pokorný Dušan, doc. RNDr., Ph.D. (31.08.2026)

Literatura

Černý, R., Pokorný, M.: Základy matematické analýzy pro studenty fyziky 1, MATFYZPRESS, 2020

Kopáček J.: Matematika pro fyziky I., MATFYZPRESS, 2004

Kopáček J. a kol. : Příklady z matematiky pro fyziky I., MATFYZPRESS, 2002

Jarník J.: Diferenciální počet I, ACADEMIA 1984

Jarník J.: Diferenciální počet II, ACADEMIA 1984

Jarník J.: Integrální počet I, ACADEMIA 1984

Děmidovič V.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003

http://www.mff.cuni.cz/prednasky/NMAF051">Videozáznamy přednášek

Poslední úprava: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (30.09.2022)

Metody výuky

přednáška a cvičení (další detaily na stránce vyučujícího).

Poslední úprava: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (30.09.2022)

Kontroly studia předmětu a podmínky pro jejich úspěšné vykonání, způsob hodnocení

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.

Poslední úprava: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (30.09.2022)

Sylabus

čeština

1. Úvod
Množiny, výroky a výroková logika, kvantifikátory. Zobrazení. Číselné množiny, supremum a infimum, zobrazení a jejich vlastnosti, spočetnost a nespočetnost.

2. Funkce jedné reálné proměnné
Funkce jako zobrazení, pojem vlastní limity ve vlastním bodě, jednostranné limity, spojitost funkce, aritmetika vlastních limit. Derivace funkce v bodě, základní vlastnosti derivace, aritmetika derivací, derivace složené a inverzní funkce, diferenciál, vyšší derivace, Leibnizův vzorec. Elementární funkce.

3. Primitivní funkce
Definice a základní vlastnosti primitivní funkce, per partes a substituce, primitivní funkce pro racionální lomené funkce, parciální zlomky, speciální substituce. Základní metody řešení ODR.

4. Limity podruhé
Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech, aritmetika nevlastních limit, l'Hospitalovo pravidlo pro počítání limit, symbolika o, O. Posloupnosti a jejich základní vlastnosti: monotonie, limita, aritmetické operace, podposloupnosti, Bolzano-Cauchyova vlastnost.

5. Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí
Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, věty o střední hodnotě a důsledky: Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova věta, důkaz l'Hospitalova pravidla, Taylorův polynom se zbytkem, počítání limit pomocí Taylorova polynomu, konvexita, konkavita, inflexe, průběh funkce.

6. Integrál Riemannův a Newtonův
Newtonův integrál. Definice zobecněné primitivní funkce a definice Newtona integrálu. Newton-Leibnizova formule. Konstrukce Riemannova integrálu, základní vlastnosti. Integrál s proměnnou mezí, základní věta integrálního a diferenciálního počtu, Newton-Leibnizova formule. Integrace per partes a substituce, věty o střední hodnotě integrálního počtu.

Poslední úprava: Pokorný Dušan, doc. RNDr., Ph.D. (30.08.2026)

angličtina

1. Sets and operations on sets, predicate logic. Sets of numbers. The supremum axiom. Sequences and their limits, accumulations points, countable and non-countable sets.

2. Function of one real variable, limit and continuity. One-to-one function. Composite function, parametrically given function. Elementary functions.

3. Primitive function, integration by parts and Theorem on Substitution; integration of elementary functions, especially rational ones. Solution to special ODEs.

4. Further properties of limits. Symbols o and O (small and capital o). Sequences and their properties: monotone sequences and their limit. Bolzano-Cauchy Theorem.

5. Properties of continuous functions on a closed interval. Mean Value Theorem. L'Hospital's Rule. Sketching of the graph of a function using derivatives. Convexity and concavity. Taylor polynomial and Taylor formula.

6. Riemann and Newton integral. Integral with changing upper limit. Connection between primitive function and Riemann integral. Mean Value Theorem of the integral calculus.

Poslední úprava: Pokorný Dušan, doc. RNDr., Ph.D. (30.08.2026)

Podmínky zápisu předmětu

čeština

Znalosti středoškolské matematiky.

Poslední úprava: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (30.09.2022)

angličtina

High-school mathematics (according to central European standards).

Poslední úprava: Pražák Dalibor, doc. RNDr., Ph.D. (30.09.2022)