PředmětyPředměty(verze: 849)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Úvod do komplexní analýzy - NMMA301
Anglický název: Introduction to Complex Analysis
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: Mgr. Petr Honzík, Ph.D.
Třída: M Bc. MMIB
M Bc. MMIB > Povinné
M Bc. OM
M Bc. OM > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 2. roč.}
Neslučitelnost : NMAA021
Záměnnost : NMAA021
Je korekvizitou pro: NMMA338
Je neslučitelnost pro: NMMA901
Je záměnnost pro: NMMA901
Anotace -
Poslední úprava: G_M (16.05.2012)
Úvodní kurs analýzy v komplexním oboru. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Úvod do komplexní analýzy.

Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (26.05.2019)

Student musí mít zápočet, aby mohl přijít ke zkoušce. Zápočet získá za aktivní účast na cvičení. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.

Literatura
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (29.09.2017)
Základní literatura

Veselý, J.: Komplexní analýza (pro učitele), Karolinum Praha, 2000.

Novák, B.: Analýza v komplexním oboru (skripta), SPN Praha, 1980.

Kopáček, J.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky IV, Matfyzpress 2009.

Doplňková literatura.

Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha, 1977; přepracované vydání 2003

Metody výuky -
Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Přednáška a cvičení

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (26.05.2019)

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (29.05.2017)
1. Úvod

Těleso komplexních čísel, zápisy komplexního čísla, operace

Komplexní funkce reálné proměnné - spojitost, derivace, integrál

Komplexní funkce komplexní proměnné - spojitost, derivace podle komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce - definice a příklady (polynomy, rac. funkce)

2. Mocninné řady a elementární funkce

Mocninné řady - poloměr konvergence, kruh konvergence, absolutní a lokálně stejnoměrná konvergence, derivování a integrování člen po členu

Exponenciála, goniometrické a hyperbolické funkce - definice a vlastnosti

Logaritmus a argument - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti,

obecná mocnina - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti

3. Křivkový integrál

Křivka, cesta, integrál podél cesty, délka cesty

Vlastnosti integrálu podél cesty, výpočet pomocí primitivní funkce, záměna limity a integrálu, spojitost a derivace podle parametru

Charakterizace oblasti, existence primitivní funkce a integrál podél cesty

Spojitá větev logaritmu holomorfní funkce podél cesty, index bodu vzhledem k cestě a jeho vlastnosti

4. Lokální Cauchyova věta a její aplikace

Cauchyova věta pro trojúhelník, hvězdovitá množina a Cauchyova věta pro ni, Cauchyův vzorec pro kruh, Cauchyův vzorec pro vyšší derivace, vyjádření mocninnou řadou, Cauchyovy odhady, Liouvilleova věta, základní věta algebry, násobnost kořenů, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu, Weierstrassova věta o limitě holomorfních funkcí, Morerova věta

5. Izolované singularity, Laurentovy řady, rezidua

Rozšíření o nekonečno, Riemannova sféra, stereografická projekce

Izolované singularity - Casoratti-Weierstrassova věta, vlastnosti funkcí v nekonečnu

Laurentovy řady - mezikruží konvergence, Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží, vztah k izolovaným singularitám, reziduová věta, metody výpočtu reziduí

Jordanovo lemma

6. Globální Cauchyova věta a Cauchyův vzorec

Řetězce, cykly, globální Cauchyova věta a vzorec

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK