This course will cover basics of the linear algebra and the calculus.
Last update: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (31.12.2021)
V Matematice A1 jsou vyloženy základní pojmy a výpočetní metody lineární algebry, základy diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné, a dále základní poznatky a metody řešení diferenciálních rovnic 1.řádu.
Last update: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (21.09.2022)
Literature -
Please note, the lectures are given in Czech language only.
Last update: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (26.10.2019)
Základní literatura:
VŠCHT:
A. Klíč a kolektiv: Matematika I ve strukturovaném studiu I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2011, 2007, 2004, 1998).
D. Turzík a kolektiv: Matematika IIve strukturovaném studiu II. VŠCHT, Praha 2014 (také 2005, 2002, 1998).
L.Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2008).
PřF UK:
J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce I, Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990).
J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce II. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990).
N. Krylová, M. Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky I, Karolinum 2006 (nebo PřF UK, Praha 1994).
MU, Brno:
Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 1.díl, Masarykova univerzita, Brno 2012.
Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 2.díl, Masarykova univerzita, Brno 2014.
Z.Došlá, P.Liška: Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách, Grada 2014.
Rozšiřující literatura (pro hlubší porozumění):
J. Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, Praha 2004.
J. Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2007.
J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky I, Matfyzpress, Praha 2005.
J. Brabec, F. Martan, Z. Rozenský: Matematická analýza I, SNTL, Praha 1985.
J. Veselý: Základy matematické analýzy I, Matfyzpress, Praha 2004.
J. Veselý: Základy matematické analýzy II, Matfyzpress, Praha 2009.
V. Jarník: Diferenciální počet I. Academia, Praha 1963.
V. Jarník: Integrální počet I. Academia, Praha 1963.
Last update: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (29.09.2021)
Requirements to the exam -
Please note, the lectures are given in Czech language only.
Last update: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (26.10.2019)
Průběh zkoušky:
Před zkouškou je nutné získat zápočet ze cvičení. Zápočet se uděluje za přiměřenou aktivitu studenta na cvičení, za vypracování domácích úkolů nebo za úspěšné splnění zápočtových testů, dle požadavků cvičících.
Zkouška z matematiky má dvě části - písemnou a ústní (viz níže).
Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny.
V první části písemného testu se řeší tyto (početní) příklady:
1. příklad z lineární algebry; 2. vyšetření průběhu funkce; 3. výpočet neurčitého integrálu (substituce, integrace per partes, integrace racionální funkce); 4. aplikace určitého integrálu; 5. řešení diferenciální rovnice prvního řádu (separaci proměnných, variace konstanty, metoda odhadu) - obecné řešení i řešení počáteční úlohy.
Druhá část písemné práce obsahuje dvě teoretické otázky: definice, základní věty, jednoduché aplikace.
K postoupení k ústní části je nezbytné získat alespoň polovinu bodů z písemné části.
Ústní část zkoušky trvá přibližně 10 až 15 minut.
Ústní část zkoušky slouží k určení známky na základě výsledku písemného testu.
Požadavky ke zkoušce:
Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky: výroky, konjunkce, disjunkce, negace výroků, implikace, ekvivalence, kvantifikátory; množiny a jejich rovnost, sjednocení, průnik, rozdíl dvou množin, kartézský součin; množina reálných čísel a její podmnožiny; pojem funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce, funkce lichá, sudá, periodická, monotónní, inverzní, funkce složená; elementární funkce (lineární, mocninné, lineární lomené, goniometrické, exponenciální a logaritmické), jejich definiční obory, vlastnosti a grafy; úpravy algebraických výrazů; řešení rovnic a nerovnic lineárních, kvadratických, goniometrických, exponenciálních a logaritmických; nerovnice s absolutní hodnotou; komplexní čísla a počítání s nimi, n-tá odmocnina z komplexního čísla; analytická geometrie - kartézské souřadnice bodu a vektoru v rovině a v prostoru, rovnice přímky v rovině a roviny v prostoru, vektorové a parametrické rovnice přímky a roviny, rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly v rovině, skalární a vektorový součin vektorů, kolmost vektorů.
Lineární algebra: lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů; matice a operace s maticemi; sčítání a násobení matic, ekvivalentní úpravy matice, hodnost matice; regulární a singulární čtvercová matice, inverzní matice, výpočet inverzní matice; determinant čtvercové matice - definice a vlastnosti, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce, výpočet determinantu; soustavy lineárních rovnic a jejich řešení - Frobeniova věta, Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda; výpočet inverzní matice a její užití při řešení soustav lineárních rovnic; řešení soustavy s regulární maticí užitím Cramerova pravidla;
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: vzdálenost v množině reálných čísel; limita funkce (vlastní, nevlastní, ve vlastním bodě, v nevlastním bodě, jednostranné limity), definice, základní věty o limitách (věty o limitě součtu, součinu, podílu a složené funkce, věta o limitě sevřené funkce a její analogie pro nevlastní limity, limita monotónní funkce), výpočet limit funkcí (podle základních vět, neurčité výrazy a jejich převedení na „definované“ výrazy), neexistence limity (pomocí různých limit vhodně vybraných posloupností funkčních hodnot); spec. limita posloupnosti - definice limity posloupnosti, základní věty o limitě posloupnosti, výpočet jednodušších limit posloupností podle těchto vět; spojitost funkce v bodě a v intervalu - definice, věty o spojitosti funkce, vyšetřování spojitosti funkce; základní věty o spojitých funkcích (omezenost a existence maxima a minima funkce spojité na uzavřeném intervalu, obor hodnot funkce spojité na intervalu); derivace funkce v bodě (oboustranná, zprava, zleva, vlastní, nevlastní) - definice, fyzikální význam derivace, derivace jako směrnice tečny ke grafu funkce; souvislost existence derivace a spojitosti funkce v bodě; derivace elementárních funkcí, věty o derivaci součtu, součinu, podílu, složené funkce a inverzní funkce; derivace vyšších řádů; diferenciál funkce; lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; užití derivace při vyšetřování monotonie a lokálních extrémů funkce; užití druhé derivace pro zjištění intervalů, kde funkce je konvexní, resp. konkávní a nalezení inflexních bodů funkce; L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit; vyšetření extrémů funkce na dané množině; vyšetření průběhu funkce; Taylorův polynom n-tého stupně funkce f v bodě a – definice, Taylorova věta, Taylorův polynom v bodě a = 0 vybraných funkcí.
Integrální počet funkcí jedné proměnné:primitivní funkce k dané funkci na otevřeném intervalu - definice, postačující podmínky existence, vlastnosti, primitivní funkce k některým jednoduchým funkcím; neurčitý integrál; věty o integraci per partes a o substituci a jejich užití při výpočtu integrálů; integrace racionálních funkcí (rozklad racionální funkce na parciální zlomky, integrace parciálních zlomků); výpočet integrálů, které lze speciálními substitucemi převést na integraci racionálních funkcí; Newtonův integrál - definice; Riemannova definice určitého integrálu, nutná podmínka, resp. postačující podmínky existence určitého integrálu, základní vlastnosti R-integrálu - nezávislost jeho existence a hodnoty na hodnotách integrované funkce v konečně mnoha bodech, aditivnost integrálu, odhady, věta o střední hodnotě integrálního počtu; výpočet určitého integrálu pomocí Newtonovy formule, metoda integrace per partes a substituční metoda pro určitý integrál; integrál s proměnnou horní mezí, jeho spojitost a derivace podle proměnné meze a souvislost s existencí primitivní funkce k funkci spojité v intervalu; aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu rovinné oblasti, objemu rotačního tělesa, délky křivky grafu funkce.
Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice; počáteční úloha; diferenciální rovnice 1. řádu se separovatelnými proměnnými; lineární diferenciální rovnice 1.řádu – věta o existenci jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, výpočet řešení metodou variace konstanty nebo metodou odhadu; jednoduché aplikace diferenciálních rovnic 1. řádu.
Last update: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (15.05.2023)
Syllabus -
1. Basic notions from linear algebra: vectors, the vector space Rn, linear mappings Rn into Rm, matrices, systems of linear equations, determinants.
2. Differential calculus of one real variable: the real numbers, elementary functions, limits and continuity, derivatives, differentials, the mean-value theorem, applications of the derivative, graphing, polynomial approximation and Taylor´s theorem.
3. The integral: antiderivatives, indefinit integrals and integration rules, technique of integration, the definite integral, the fundamental theorem of calculus, applications of the definite integral.
4. Differential equations: basic notions, separable differential equations, linear first-order differential equations, second-order differential equations, some applications.
Last update: FORSTOVA/NATUR.CUNI.CZ (06.05.2011)
Lineární algebra: soustavy lineárních rovnic a jejich maticový zápis; matice a operace s maticemi; lineární kombinace vektorů, lineární závislost, resp. nezávislost vektorů; hodnost matice, matice regulární, resp. singulární; řešení soustav lineárních rovnic - Frobeniova věta, Gaussova eliminace, Gauss-Jordanova metoda; matice inverzní, její výpočet a její užití při řešení soustav lineárních rovnic; determinant čtvercové matice, jeho výpočet a jeho užití - Cramerovo pravidlo;
Diferenciální počet reálných funkcí jedné reálné proměnné: reálné funkce jedné proměnné - opakování základních pojmů (reálná čísla, funkce složená, funkce inverzní, přehled elementárních funkcí), definice funkcí cyklometrických; limita funkce; spojitost funkce; derivace funkce, diferenciál, základní věty o spojitých funkcích, věta Lagrangeova a její důsledky, vyšetřování extrémů funkce, průběh funkce, l´Hospitalovo pravidlo, aproximace funkce v okolí bodu (Taylorovy polynomy), Taylorova řada;
Integrální počet: primitivní funkce k dané funkci na otevřeném intervalu (neurčitý integrál), metody výpočtu - integrace per partes, substituční metoda; integrace racionálních funkcí a funkcí, které se vhodnou substitucí dají převést na integraci funkce racionální; definice určitého Riemannova integrálu a Newtonova integrálu, existence, vlastnosti, metody výpočtu, aplikace geometrické a fyzikální;
Diferenciální rovnice: obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu, řešitelné separací proměnných a lineární;
Last update: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (21.09.2022)
