PředmětyPředměty(verze: 964)
Předmět, akademický rok 2024/2025
   Přihlásit přes CAS
Úvod do funkcionální analýzy - NMMA331
Anglický název: Introduction to Functional Analysis
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2024
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
4EU+: ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc.
Vyučující: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc.
Třída: DS, matematické a počítačové modelování
M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MA
M Bc. OM > Zaměření NUMMOD
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Patří mezi: Doporučené přednášky 2/2
Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 2. roč.}, {NMMA205 v NMMA203}
Neslučitelnost : NMMO302, NRFA006
Záměnnost : NRFA006
Je neslučitelnost pro: NMMA931, NMMA342, NMMO302
Je prerekvizitou pro: NMMA349, NMMA351, NMNM351, NMNM349
Je záměnnost pro: NMMA342, NRFA006, NMMA931
Anotace -
Základní kurs funkcionální analýzy pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza a Matematické modelování a numerická analýza.
Poslední úprava: G_M (16.05.2012)
Podmínky zakončení předmětu -

Pravidla pro akademický rok 2024/2025:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Před skládáním zkoušky je třeba získat zápočet.

Zápočet bude udělen za účast na cvičeních.

K získání zápočtu je třeba dostavit se alespoň na polovinu cvičení. Pokud toto není možné, je třeba vypracovat alespoň šest úloh z příkladů uvedených na stránkách přednášejícího.

Poslední úprava: Spurný Jiří, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (10.09.2024)
Literatura

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1991 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Poslední úprava: Spurný Jiří, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (07.09.2012)
Požadavky ke zkoušce -

Podmínky pro akademický rok 2024/2025:

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, musí znovu absolvovat celou zkoušku (tedy včetně písemné části bez ohledu na předchozí výsledek písemné části).

Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru.

Při ústní části si student vylosuje sadu otázek, která bude obsahovat znění a důkazy vět z přednášky.

Poslední úprava: Spurný Jiří, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (11.09.2024)
Sylabus -
1. Banachovy a Hilbertovy prostory
normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů

spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů

konvergence řad v Banachových prostorech

Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.

prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze

reálné prostory vs. komplexní prostory

2. Dualita a Hahn-Banachova věta
Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky

oddělování konvexních množin

kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory

reprezentace duálů ke klasickým prostorům

slabá (případně slabá*) konvergence posloupností (definice, porovnání, příklady, charakterizace v klasických prostorech)

vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů)

3. Operátory na Banachových prostorech
Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky

Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

Kvocient, projekce, komplementovanost

Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů

Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory

Spektrum operátoru

Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra

Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru

4. Fourierova transformace
Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1

Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm

Věta o inverzi

Plancherelova transformace na L_2

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Vstupní požadavky -

Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK