PředmětyPředměty(verze: 850)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Úvod do funkcionální analýzy - NMMA331
Anglický název: Introduction to Functional Analysis
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc.
Třída: DS, matematické a počítačové modelování
M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MA
M Bc. OM > Zaměření NUMMOD
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 2. roč.}, {NMMA205 v NMMA203}
Neslučitelnost : NRFA006
Záměnnost : NRFA006
Je neslučitelnost pro: NMMA931, NMMA342
Je prerekvizitou pro: NMNM349, NMMA349
Je záměnnost pro: NMMA931, NMMA342
Anotace -
Poslední úprava: G_M (16.05.2012)
Základní kurs funkcionální analýzy pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza a Matematické modelování a numerická analýza.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D. (03.10.2018)

Zápočet student obdrží za účast alespoň na 2/3 cvičení.

Povaha kontroly studia předmětu vylučuje opakování této kontroly.

Literatura
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc. (07.09.2012)

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1991 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (05.10.2017)

Zkouška se koná se pouze v termínech, které budou včas oznámeny. Zkouší se látka probraná na přednáškách a cvičeních. Nutnou podmínkou pro účast na zkoušce je získání zápočtu za cvičení. Na zkoušku je nutno si přinést dostatečný počet papírů formátu A4 a psací potřeby. Nelze používat žádné pomůcky (literaturu, výpisky, kalkulačku, apod.). Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Obsahem písemné části je řešení jednoho příkladu, za které je možno získat maximálně 12 bodů.

K ústní části zkoušky postoupí student, pokud za řešení příkladu získá alespoň 7 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je nutné znát definice. Nesložení ústní části znamená, že při příštím termínu je nutné opakovat obě části zkoušky.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D. (18.08.2018)

Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.

1. Úvod

Banachovy a Hilbertovy prostory, příklady, spojitost vektorových operací, konvexní a linární obal a jejich vlastnosti, ekvivalentní normy

2. Operace s Banachovými prostory

podprostor, součin, faktorprostor, komplexifikace

zúplnění prostoru (důkaz později)

alegebraický a topologický součet a doplněk, kodimenze

3. Operátory a funkcionály

charakterizace spojitosti, ekvivalentní popis normy, prostor operátorů, izomorfizmus

4. Hilbertovy prostory

Cauchy-Schwarz, rovnoběžníkové pravidlo

promítání na konvexní množinu, ortogonální doplněk

sumace v Banachových prostorech

maximální a ortonormální systém, jejich charakterizace (Bessel, Parseval), Riesz-Fischer, příklad L_2

5. Hahn-Banach

algebraická verze

důsledky (oddělování bodů, rozšiřování spojitého funkcionálu, oddělování podprostoru)

dplněk prostoru konečné dimenze a kodimenze

geometrické oddělování

6. Dualita

kanonické vnoření, popis H*

dualita pro c_0 a L_p

dualita pro C(K) a Radonovy míry

definice reflexivity a reflexivita H

7. Úplnost

princip stejnoměrné omezenosti a Banach-Steinhaus

otevřené zobrazení a uzavřený graf

8. Duální operátory

duální a adjungovaný operátor, anihilátory, izomorfizmus a dualita

9. Kompaktní operátory

definice a základní vlastnosti

lemma o skoro kolmici a konečně dimenzionální prostory

Arzela-Ascoli a Schauderova věta

definice spektra, strukutra spektra pro kompaktní operátory a Fredholmovy věty

10. Konvoluce a vlastnosti L_p

Luzinova věta, hustota spojitých funkcí v L_p, separabilita

definice konvoluce a základní vlastnosti

zhlazovací jádro a jeho užití při aproximaci

L_p odhady pro konvoluci

hustota D v L_p

11. Distribuce

definice D a konvergence v D, základní vlastnosti

definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce

řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí)

Banach-Steinhaus

12. Fourierova transformace funkcí

Definice Fourierovy transformace na L_1 a její základní vlastnosti

S, základní vlastnosti Fourierovy transformace na S

Fourierova transformace na L_1 a věta o inverzi

Fourierova transformace konvoluce a Plancherelova věta

13. Temperované distribuce

Definice S', základní vlastnosti a příklady

Fourierova transformace na S' a její základní vlastnosti

konvoluce na S' a vztah k Fourierově transformaci

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK