PředmětyPředměty(verze: 953)
Předmět, akademický rok 2023/2024
   Přihlásit přes CAS
Úvod do funkcionální analýzy (O) - NMMA931
Anglický název: Introduction to Functional Analysis (O)
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2023 do 2023
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
4EU+: ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Způsob výuky: prezenční
Je zajišťováno předmětem: NMMA331
Garant: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
Třída: Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Neslučitelnost : NMMA331, NRFA006, NRFA106
Záměnnost : NMMA331, NRFA106
Je záměnnost pro: NRFA106
Anotace -
Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy.
Poslední úprava: Töpfer Pavel, doc. RNDr., CSc. (02.05.2019)
Podmínky zakončení předmětu -

Pravidla pro akademický rok 2022/2023:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Před skládáním zkoušky je třeba získat zápočet.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení tří domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého spíše teoretického příkladu na cvičení.

V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.

Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení jsou uvedeny na webu přednášejícího.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Literatura

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
Požadavky ke zkoušce -

Podmínky pro akademický rok 2022/2023:

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, zvolí si, zda si při opravném termínu nechá uznat již složenou písemnou část s dosaženým počtem bodů nebo zda bude skládat celou zkoušku včetně písemné. Pokud zvolí druhou možnost, k výsledku

dříve složené písemné část se již nepřihlíží.

Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru.

Při ústní části si student vylosuje sadu otázek, která bude obsahovat znění a důkazy vět z přednášky a problém řešitelný metodami vyloženými během semestru.

Podrobnější podmínky, vzorové příklady, seznamy otázek atp. budou zveřejněny na webu přednášejícího.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Sylabus -

1. Banachovy a Hilbertovy prostory
normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů

spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů

konvergence řad v Banachových prostorech

Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.

prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze

reálné prostory vs. komplexní prostory

2. Dualita a Hahn-Banachova věta
Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky

oddělování konvexních množin

kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory

reprezentace duálů ke klasickým prostorům

slabá (případně slabá*) konvergence posloupností (definice, porovnání, příklady, charakterizace v klasických prostorech)

vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů)

3. Operátory na Banachových prostorech
Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky

Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

Kvocient, projekce, komplementovanost

Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů

Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory

Spektrum operátoru

Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra

Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru

4. Fourierova transformace
Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1

Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm

Věta o inverzi

Plancherelova transformace na L_2

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Vstupní požadavky -

Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (12.09.2022)
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK