PředmětyPředměty(verze: 901)
Předmět, akademický rok 2021/2022
  
Úvod do funkcionální analýzy (O) - NMMA931
Anglický název: Introduction to Functional Analysis (O)
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2021 do 2021
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Je zajišťováno předmětem: NMMA331
Další informace: https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/
Garant: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D.
Třída: Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Neslučitelnost : NMMA331, NRFA006, NRFA106
Záměnnost : NMMA331, NRFA106
Je záměnnost pro: NRFA106
Anotace -
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. (02.05.2019)
Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (21.09.2021)

Nejprve je třeba získat zápočet, pak student může ke zkoušce.

Postačující podmínkou pro udělení zápočtu je 50% účast na cvičeních a dvě splněné zápočtové písemky. V případě nesplnění zápočtové písemky je možné si písemku opravit dodatečným vypracováním příkladů navíc. V případě nutnosti přechodu na distanční výuku budou zápočtové písemky nahrazeny domácími úkoly.

Nějaké další detaily týkající se zkoušky jsou v sekci "Požadavky ke zkoušce".

Podrobnější informace lze nalézt zde:

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/ufa_pozadavky.pdf

Literatura
Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (21.09.2021)

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, musí znovu absolvovat celou zkoušku (tedy včetně písemné části bez ohledu na předchozí výsledek písemné části).

Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru. Celkem bude možné z písemné části zkoušky získat 50 bodů, je třeba získat alespoň 26 bodů. Čas k vypracování písemné části je 120 minut. Povoleny budou pouze běžné psací potřeby a tahák o velikosti jedné strany A4, který si student pro účely zkouškové písemky může sám připravit.

Odevzdané písemky budou opraveny během odpoledne/večera v den konání písemné části zkoušky. Výsledky písemné práce budou zveřejněny na webu přednášejícího (kde jména studentů budou nahrazena předem domluveným kódem), nebo zaslány studentům mailem. Ústní zkoušky se budou konat v budově MFF UK, Sokolovská 83 během jednoho až dvou dnů následujících po příslušném termínu písemky. Na ústní zkoušku se studenti přihlásí elektronicky prostřednictvím systému SIS, v případě že student k ústní části zkoušky nepostoupí, může si v příslušném čase prohlédnout svou písemnou práci a seznámit se s jejím detailním hodnocením.

Při ústní části zkoušky bude student mít za úkol zformulovat a dokázat dvě věty z přednášky (jednu lehčí a jednu těžší). Dále pak bude mít za úkol prokázat, že definici a zformulovaným větám rozumí. Dále pak bude student dotázán na jedno z témat z přednášky a měl by být schopen přehledově na dané téma poreferovat - v rámci této otázky může student dostat i otázku, kterou lze zodpovědět pomocí vět a metod z přednášky (tzv. teoretický příklad).

Podrobnější informace lze nalézt zde:

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/ufa_pozadavky.pdf

Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (23.06.2021)

Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.

1. Banachovy a Hilbertovy prostory
normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů

spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů

konvergence řad v Banachových prostorech

Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.

prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze

reálné prostory vs. komplexní prostory

2. Dualita a Hahn-Banachova věta
Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky

oddělování konvexních množin

kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory

reprezentace duálů ke klasickým prostorům

slabá (případně slabá*) konvergence posloupností (definice, porovnání, příklady, charakterizace v klasických prostorech)

vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů)

3. Operátory na Banachových prostorech
Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky

Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

Kvocient, projekce, komplementovanost

Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů

Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory

Spektrum operátoru

Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra

Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru

4. Fourierova transformace
Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1

Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm

Věta o inverzi

Plancherelova transformace na L_2

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK