Úvod do funkcionální analýzy (O) - NMMA931

• Anglický název: Introduction to Functional Analysis (O)
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Je zajišťováno předmětem: NMMA331
• Garant: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
• Třída: Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
• Neslučitelnost : NMMA331, NRFA006, NRFA106
• Záměnnost : NMMA331, NRFA106
• Je záměnnost pro: NRFA106

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. (02.05.2019)

Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy.

angličtina

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

An introductory course in functional analysis. Not equivalent to the course NMMA331.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

Pravidla pro akademický rok 2022/2023:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Před skládáním zkoušky je třeba získat zápočet.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení tří domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého spíše teoretického příkladu na cvičení.

V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.

Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení jsou uvedeny na webu přednášejícího.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

The course is taught in Czech, so see the Czech version.

Literatura

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

Podmínky pro akademický rok 2022/2023:

Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, zvolí si, zda si při opravném termínu nechá uznat již složenou písemnou část s dosaženým počtem bodů nebo zda bude skládat celou zkoušku včetně písemné. Pokud zvolí druhou možnost, k výsledku

dříve složené písemné část se již nepřihlíží.

Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru.

Při ústní části si student vylosuje sadu otázek, která bude obsahovat znění a důkazy vět z přednášky a problém řešitelný metodami vyloženými během semestru.

Podrobnější podmínky, vzorové příklady, seznamy otázek atp. budou zveřejněny na webu přednášejícího.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

The course is taught in Czech, so see the Czech version.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

1. Banachovy a Hilbertovy prostory
normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů

spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů

konvergence řad v Banachových prostorech

Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.

prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze

reálné prostory vs. komplexní prostory

2. Dualita a Hahn-Banachova věta
Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky

oddělování konvexních množin

kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory

reprezentace duálů ke klasickým prostorům

slabá (případně slabá*) konvergence posloupností (definice, porovnání, příklady, charakterizace v klasických prostorech)

vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů)

3. Operátory na Banachových prostorech
Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky

Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

Kvocient, projekce, komplementovanost

Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů

Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory

Spektrum operátoru

Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra

Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru

4. Fourierova transformace
Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1

Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm

Věta o inverzi

Plancherelova transformace na L_2

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

1. Banach and Hilbert spaces
normed spaces, spaces with inner product, examples of Banach spaces

continuous linear mappings - characterization, norm, space of operators

convergence of series in Banach spaces

Hilbert spaces - orthonormal systems, orthonormal basis, Riesz-Fischer etc.

finite-dimensional vs infinite-dimensional spaces

real spaces vs. complex spaces

2. Duality and Hahn-Banach theorem
Hahn-Banach theorem and its consequences

separation of convex sets

canonical embedding into second dual and reflexive spaces

representation of dual spaces to classical Banach spaces

wead (and weak*) convergence of sequences (definition, comparision, examples, characterization in classical spaces)

choice of weakly convergent subsequences in reflexive spaces (and weak*-converent subsequences in duals of separable spaces)

3. Operators on Banach spaces
Principle of uniform boundedness, Banach-Steinhaus and consequences

Open mapping theorem and Closed graph theorem

Quotient, projection, complementability

Dual operators, duality of subspaces and quotients

Adjoint operators between Hilbert spaces

Spectrum of operators

Compact operators - definition, properties, structure of the spectrum

Selfadjoint compact operators on Hilbert space

4. Fourier transformation
Definition and properties of Fourier transformation on L_1

Schwartz space and Fourier transformation on it

Inverse theorem

Plancherel transformation on L_2

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)

The lecture requires previous fair knowledge from mathematical analysis (Mathematical analysis 1-3, metric spaces from Mathematical analysis 4), linear algebra (mainly vector spaces and linear mappings, with emphasis on infinite-dimensional spaces), and Theory of measure and integral.