PředmětyPředměty(verze: 806)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Úvod do funkcionální analýzy (O) - NMMA931
Anglický název: Introduction to Functional Analysis (O)
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Je zajišťováno předmětem: NMMA331
Garant: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc.
Třída: Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Neslučitelnost : NMMA331, NRFA006, NRFA106
Záměnnost : NMMA331, NRFA106
Anotace -
Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331.
Literatura
Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc. (07.09.2012)

1. Úvod

Banachovy a Hilbertovy prostory, příklady, spojitost vektorových operací, konvexní a linární obal a jejich vlastnosti, ekvivalentní normy

2. Operace s Banachovými prostory

podprostor, součin, faktorprostor, komplexifikace, zúplnění prostoru, alegebraický a topologický součet a doplněk, kodimenze

3. Operátory a funkcionály

charakterizace spojitosti, ekvivalentní popis normy, prostor operátorů, izomorfizmus

4. Hilbertovy prostory

Cauchy-Schwarzova nerovnost, rovnoběžníkové pravidlo, promítání na konvexní množinu, ortogonální doplněk, sumace v Banachových prostorech, maximální a ortonormální systém,

jejich charakterizace (Besselova a Parsevalova věta), Rieszova-Fischerova věta, příklad L_2

5. Hahnova-Banachova věta

algebraická verze, důsledky (oddělování bodů, rozšiřování spojitého funkcionálu, oddělování podprostoru), doplněk prostoru konečné dimenze a kodimenze, geometrické oddělování (bez důkazu)

6. Dualita

kanonické vnoření, popis duálu Hilbertova prostoru, dualita pro c_0 a L_p, dualita pro C(K) a Radonovy míry, definice reflexivity a reflexivita Hilbertova prostoru

7. Úplnost v Banachových prostorech

princip stejnoměrné omezenosti a Banachova-Steinhausova věta, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

8. Duální operátory

duální a adjungovaný operátor, anihilátory, izomorfizmus a dualita

9. Kompaktní operátory

definice a základní vlastnosti, lemma o skoro kolmici a konečně dimenzionální prostory, Arzelova-Ascoliova věta, Schauderova věta, definice spektra, struktura spektra pro kompaktní operátory a Fredholmovy věty

10. Konvoluce a vlastnosti L_p

Luzinova věta, hustota spojitých funkcí v L_p, separabilita, definice konvoluce a základní vlastnosti, zhlazovací jádro a jeho užití při aproximaci, L_p odhady pro konvoluci, hustota D v L_p

11. Distribuce

definice D a konvergence v D, základní vlastnosti, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí),

Banachova-Steinhausova věta (bez důkazu)

12. Fourierova transformace funkcí

Definice Fourierovy transformace na L_1 a její základní vlastnosti, Schwarzův prostor S, základní vlastnosti Fourierovy transformace na S, Fourierova transformace na L_1 a věta o inverzi,

Fourierova transformace konvoluce a Plancherelova věta

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK