Předměty

Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)

1. Číselné a mocninné řady
Řady reálných a komplexních čísel: konvergence a divergence, uzávorkování řad, aritmetika konvergentních řad. Řady s nezápornými členy a kritéria jejich konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence, kritéria neabsolutní konvergence, přerovnání a násobení řad, Cauchyův součin řad. Elementární poznatky z teorie mocninných řad: poloměr konvergence, kruh konvergence, kritická kružnice. Derivování a integrování mocninných řad. Taylorovy řady.

2. Obyčejné diferenciální rovnice
ODR n-tého řadu, souvislost se systémem ODR 1. řádu, počáteční podmínky, věta o řešitelnosti a o jednoznačnosti řešení.

Lineární rovnice n-tého řádu, homogenní a nehomogenní rovnice, fundamentální systém. Metoda charakteristického polynomu, komplexní a reálný FS, případ vícenásobných kořenů, speciální pravá strana, obecná variace konstant. Bernoulliova rovnice. Wronskián. Speciální typy rovnic vyššího řádu. Eulerova rovnice. Řešení rovnic pomocí Taylorových řad.

3. Funkce více proměnných
Vzdálenost, metrika a metrický prostor. Norma a normovaný prostor. Otevřená množina, okolí, uzavřená množina, uzávěr, vnitřek, hranice. Konvergence, cauchyovskost, úplnost, kompaktnost, separabilita, Banachův a Hilbertův prostor. Kompaktní množiny v metrickém prostoru a v Rn. Limita a spojitost funkcí více proměnných, Heineho věta, spojitost a stejnoměrná spojitost, spojitý obraz kompaktu a důsledky. Kontraktivní zobrazení. Banachova věta o pevném bodu a její aplikace. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Operátory grad, div, rot. Totální a parciální diferenciály. Diferenciální rovnice ve tvaru totálního diferenciálu, exaktní rovnice, integrační faktor. Složené derivování a záměna proměnných, věta o střední hodnotě pro víc proměnných. Taylorův vzorec a vyšší diferenciály. Extrémy funkcí více proměnných, implicitní funkce, vázané extrémy, Lagrangeovy multiplikátory.

4. Základy variačního počtu v jedné dimenzi
Funkcionál, Gateauxův diferenciál, variace. Euler-Lagrangeovy rovnice, klasická úloha variačního počtu, Lagrangián, kritický bod funkcionálu, extremála funkcionálu.

Poslední úprava: T_KMA (13.05.2008)

1. Number series and power series

Convergent/oscilatory/divergent number series; convergence criteria for series with non-negative terms and general terms; absolute and relative convergence; product of series. Elementary power series, derivatives and primitives to series. Taylor series.

2. Ordinary differential equations

Solution of an ODE; Cauchy problem for the ODE's; basic existence and uniqueness theorems; scalar equations of the first order - basic methods of finding solutions; linear equations of the nth order - fundamental system, variation of the constant, special right-hand side. Connection to the system of ODEs. Wronskian, Bernoulli and Euler equations.

3. Functions of more than one variable

Metric, norm, open and closed sets, closure, interior, boundary. Convergence, completeness, compactness, separability. Banach and Hilbert spaces. Continuity and uniform continuity, Heine theorem. Continuous functions on a compact set. Contractive mapping. Banach fixed point theorem. Theorem on the solvability of ODE. Limit and continuity. Partial and directional derivatives, total differential. Grad, div and curl. Exact differential equations, integration factor. Chain rule, change of variables. Mean value theorem, Taylor series. Local and global extrema, Lagrange multipliers. Implicit functions.

4. Variational calculus.

Functional, Gateaux derivative, variation. Euler-Lagrange equations.