Základy numerické matematiky - NNUM105

• Anglický název: Fundamentals of Numerical Mathematics
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2018
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 9
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc.; prof. RNDr. Jaroslav Haslinger, DrSc.
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
• Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 1. roč. na M nebo F}
• Neslučitelnost : NNUM009
• Záměnnost : NMNM201
• Je neslučitelnost pro: NMNM201
• Je záměnnost pro: NMNM201, NNUM009

Anotace

čeština

Základní kurs numerické matematiky pro obor matematika. Základní numerické metody: interpolace, aproximace, řešení úloh lineární algebry, řešení nelineárních rovnic. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Soustavy diferenčních rovnic. Optimalizace.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

angličtina

The first course of numerical analysis for students of mathematics. Basic numerical methods for interpolation, approximation of functions, solving systems of linear algebraic equations, solving nonlinear equations and their systems. Initial value problem for ordinary differential equtions. Difference equations. Optimization.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

Cíl předmětu

čeština

Seznámit posluchače se základními numerickými metodami

Poslední úprava: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)

angličtina

To give a basic knowledge in numerical mathematics

Poslední úprava: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)

Literatura

čeština

Segethová J.: Základy numerické matematiky, Karolinum, 2002

Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia, Praha, 1978

Vitásek E.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987

Feistauer M.: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, 1981

Stoer J., Bullirsch R.: Introduction to Numerical Analysis, Springer, 1978

Quarteroni A., Sacco R., Saleri F.: Numerical mathematics, Springer 2000

Poslední úprava: Dolejší Vít, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.09.2013)

angličtina

Stoer J., Bullirsch R.: Introduction to Numerical Analysis, Springer, l978

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

Metody výuky

čeština

Přednášky a cvičení v posluchárně.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

angličtina

Lectures and tutorials in a lecture hall.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška dle sylabu.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

angličtina

Examination according to the syllabus.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

Sylabus

čeština

Numerické metody lineární algebry. Podmíněnost matic, normy. Gaussova eliminace a trojúhelníkový rozklad, základní maticové iterační metody, výpočet dominantního vlastního čísla reálné symetrické matice, Rayleighovy podíly.

Aproximace funkcí. Lagrangeův interpolační polynom, zbytek, Hermitův interpolační polynom, zbytek, aproximace metodou nejmenších čtverců.

Metody numerické integrace. Gaussovy kvadraturní vzorce, ortogonální polynomy, Newtonovy-Cotesovy kvadraturní vzorce, zbytky, složené kvadraturní vzorce, numerické derivování.

Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav. Věta o pevném bodě a její aplikace, Aitkenův proces pro urychlení konvergence, metoda regula falsi, Newtonova metoda pro řešení jedné rovnice a pro řešení soustav nelineárních rovnic, separace kořenů algebraické rovnice, Sturmova posloupnost.

Soustava diferenčních rovnic, lineární soustava homogenní, nehomogenní, fundamentální systém řešení homogenní soustavy, nalezení fundamentálního systému řešení rovnic s konstantními koeficienty.

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. a) Jednokrokové metody: Příklady nejjednodušších jednokrokových metod, definice obecné jednokrokové metody, přírůstková funkce. Lokální diskretizační chyba, akumulovaná diskretizační chyba, konvergence metody, konsistence, nutná a postačující podmínka pro konvergenci, odhady diskretizačních a zaokrouhlovacích chyb, odhad chyby metodou polovičního kroku, konkrétní metody a jejich odvození: metoda Eulerova, metody založené na přímém použití Taylorova vzorce, Rungeovy-Kuttovy metody. b) Vícekrokové metody: Obecné vícekrokové metody, metody explicitní, implicitní, prediktor-korektor, definice konvergence, stability a konsistence, řád metody, nutné a postačující podmínky pro konvergenci, odhady chyb, odvození vícekrokových metod.

Některé optimalizační metody. Postačující podmínky pro existenci minima funkcí více proměnných, nutné podmínky, stacionární body, konvexní funkce, metoda největšího spádu s konstantním a optimálním krokem, věty o konvergenci, metoda sdružených gradientů.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

angličtina

Numerical methods of linear algebra. LU decomposition, elimination method, matrix iterative methods, power method .

Interpolation of functions. Lagrange and Hermite polynomials. Spline functions. Least-square approximation.

Qudrature formulas. Gaussian and Newton-Cotes formulas.

Solution of Nonlinear Equations.

Systems of linear difference equations, homogeneous, nohomogeneous systems, fundamental system of solutions, systems with constant coefficients.

Numerical solution of ordinary differential equations. a) One-step methods: Examples, general one-step methods, local discretization error, accumulated discretization error, convergence, consistency, error estimates, round-off errors, aposteriori error estimate, derivation of some formulae, Runge-Kutta methods. b) Multi-step methods, general framework, convergence, stability, consistency, order of the method, error estimates, derivation of some multi-step schemes.

Some optimization methods. Elements of convex analysis, steepest descent methods with constant and optimal step, convergence.

Poslední úprava: T_KNM (19.05.2008)

Vstupní požadavky

čeština

základní znalosti z diferenciálního a integrálního počtu a z lineární algebry

Poslední úprava: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)

angličtina

basic knowledge of calculus and linear algebra

Poslední úprava: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)