PředmětyPředměty(verze: 806)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Teoretická mechanika - NOFY003
Anglický název: Theoretical Mechanics
Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017
Semestr: zimní
E-Kredity: 7
Rozsah, examinace: zimní s.:3/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/OFY003/OFY003.htm
Garant: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc.
doc. RNDr. Jiří Langer, CSc.
Mgr. David Heyrovský, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření NUMMOD
M Bc. OM > Povinně volitelné
M Mgr. MMIB
M Mgr. MMIB > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Fyzika > Předměty obecného základu
Je korekvizitou pro: NOFY027
Ve slož. prerekvizitě: NMNM349
Anotace -
Poslední úprava: T_KVOF (26.05.2003)

Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, teorie kontinua. Pro 2. r. F.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, teorie kontinua. Pro 2. r. F.

Literatura
Poslední úprava: Mgr. Petr Jedelský (04.09.2017)

  • M. Brdička, A. Hladík: Teoretická mechanika, Academia, Praha, 1987.
  • J. Horský, J. Novotný, M. Štefaník: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, 2001.
  • M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000.
  • H. Goldstein, C. Poole, J. Safko: Classical Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, 2002.
  • L. D. Landau, E. M. Lifšic: Mechanika, Fizmatgiz, Moskva, 1958.
  • J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha, 1970.
  • K. R. Symon: Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1971.
  • J. Kvasnica a kol.: Mechanika, Academia, Praha, 1988.
  • Videozáznamy přednášek
Metody výuky
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

přednáška + cvičení

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (03.10.2011)

Předehra, motivace, nástin obsahu a opakování

Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).

Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám

Síly vtištěné versus reakce podložky. Parametrický popis plochy, normála. Lagrangeovy rovnice I.druhu (intuitivní zavedení, rozbor a ilustrace na jednoduchých příkladech). Obecný tvar rovnic pro N hmotných bodů, v vazeb. Klasifikace vazeb: jednostranná - oboustranná, holonomní - neholonomní, skleronomní - rheonomní. Virtuální posunutí a dynamika systému s vazbami: d'Alembertův princip. Důsledky principu: Newtonovy rovnice pro pohyb bez vazeb, hledání rovnováhy pomocí principu virtuální práce, ekvivalence s Lagrangeovými rovnicemi I.druhu.

Lagrangeovy rovnice II.druhu

Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace jak elegantně dospět k pohybovým rovnicím na příkladě cykloidálního kyvadla.

Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu

Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic (vhodná volba zobecněných souřadnic, vyjádření T a V v těchto souřadnicích, sestavení L, příslušné derivace, jejich dosazení do Lagrangeových rovnic II.druhu). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky integrace pohybových rovnic: hledání přibližného řešení pomocí linearizace (matematické kyvadlo), hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.

Pohyb planet a další aplikace

Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.

Hamiltonův variační princip

Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona, geodetiky v obecné teorii relativity). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Jeho hlavní důsledky: Lagrangeovy rovnice II.druhu i I. druhu. Symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové pro invariantní L). Zmínka o kalibračních transformacích a polích. Náznak zobecnění variačního přístupu pro pole klasické i kvantové.

Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky

Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.

Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie

Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti (přehled základních algoritmů, příklad). Analogie s termodynamickými potenciály. Odvození Hamiltonovy-Jacobiho rovnice jakožto důsledku vhodné kanonické transformace, algoritmus jejího řešení, metoda separace proměnných a příklad (volný pád). Aplikace ve fyzice: optika (vlnoplocha -> paprsek), kvantová mechanika (kvaziklasické přiblížení: Schroedingerova rovnice -> Hamiltonova-Jacobiho rovnice), Feynmanova formulace kvantové teorie pomocí dráhových integrálů.

Mechanika tuhého tělesa

Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic, zavedení vektoru úhlové rychlosti jakožto duálu k nim. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci (Chaslesova věta). Důsledek pro kinetickou energii (Koenigova věta). Drobná perlička: jednoduché odvození pohybových rovnic v neinerciálním systému z Lagrangeovy funkce.

Eulerovy rovnice a setrvačníky

Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.

Teorie kontinua

Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: hustota Lagrangeovy funkce pro příčné kmity struny. Odvození Eulerových-Lagrangeových pohybových rovnic pro spojité prostředí z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza). Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování. Dva možné popisy pohybu kontinua: Lagrange versus Euler. Vektor posunutí a pole rychlosti.

Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua

Připomenutí tenzoru malých deformací a tenzoru napětí. Pohybová rovnice obecného kontinua a rovnice kontinuity, podmínky rovnováhy. Reologická klasifikace látek (od tuhé látky po ideální tekutinu). Zobecněný Hookův zákon pro izotropní těleso s interpretací příslušných koeficientů.

Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua

Pohybová rovnice izotropního prostředí. Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny a vlny v ní, odvození rychlosti zvuku. Bernoulliova rovnice jakožto 1.integrál. d'Alembertův hydrodynamické paradoxon pro nevířivou a nestlačitelnou ideální tekutinu. Navierova-Stokesova pohybová rovnice pro vazkou tekutinu. Ilustrace: proudění dlouhou trubicí (odvození parabolického rychlostního profilu a Poiseuillova-Hagenova zákona). Krátce o laminárním proudění versus turbulenci a Reynoldsově čísle.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK