PředmětyPředměty(verze: 809)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Teoretická mechanika - NOFY003
Anglický název: Theoretical Mechanics
Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017
Semestr: zimní
E-Kredity: 7
Rozsah, examinace: zimní s.:3/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/OFY003/OFY003.htm
Garant: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc.
doc. RNDr. Jiří Langer, CSc.
Mgr. David Heyrovský, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření NUMMOD
M Bc. OM > Povinně volitelné
M Mgr. MMIB
M Mgr. MMIB > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Fyzika > Předměty obecného základu
Je korekvizitou pro: NOFY027
Ve slož. prerekvizitě: NMNM349
Anotace -
Poslední úprava: T_KVOF (26.05.2003)

Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, teorie kontinua. Pro 2. r. F.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa, teorie kontinua. Pro 2. r. F.

Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (13.10.2017)

Podmínkou pro udělení zápočtu je získání alespoň 60 bodů. Celkově posluchač může získat až 100 bodů a to za:

1) Samostatně vypracované domácí úlohy. Zadány budou čtyři po 10 bodech, tedy celkem až 40 bodů,

2) Úspěšné napsání testu obsahujícího tři příklady v předem vyhlášeném termínu ke konci semestru, za který lze získat až 60 bodů.

Pokud posluchač získá v průběh semestru alespoň 80 bodů, nemusí při zkoušce psát písemnou část. Požadavky u ústní části zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce v daném akademickém roce.

Upřesnění: Příklady k domácímu vypracování budou zadávány průběžně a je nutné je odevzdat vždy do 14 dnů po zadání. Zadaní těchto příkladů se bude vyvěšovat na www stránkách předmětu. Pokud posluchač v průběhu semestru nezíská potřebný počet bodů, může získat náhradní body v písemce před zkouškou. Ústní část zkoušky může tentýž den absolvovat jen ve výjimečných případech (výtečně napsaná písemka, zdravotní či jiné vážné důvody). Případy dlouhodobého onemocnění apod. vyřeší vedoucí cvičení individuálně.

Literatura
Poslední úprava: Mgr. Petr Jedelský (04.09.2017)

  • M. Brdička, A. Hladík: Teoretická mechanika, Academia, Praha, 1987.
  • J. Horský, J. Novotný, M. Štefaník: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, 2001.
  • M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000.
  • H. Goldstein, C. Poole, J. Safko: Classical Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, 2002.
  • L. D. Landau, E. M. Lifšic: Mechanika, Fizmatgiz, Moskva, 1958.
  • J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha, 1970.
  • K. R. Symon: Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1971.
  • J. Kvasnica a kol.: Mechanika, Academia, Praha, 1988.
  • Videozáznamy přednášek
Metody výuky
Poslední úprava: T_KVOF (28.03.2008)

přednáška + cvičení

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (03.10.2011)

Předehra, motivace, nástin obsahu a opakování

Užitečnost alternativních formulací téhož problému ve fyzice. Ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla -> Poissonova rovnice (pole potenciálu) -> Einsteinova rovnice (pole metriky, obecná teorie relativity). Teoretická mechanika jakožto vyslovování Newtonových pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. Zopakování základních pojmů mechaniky, Newtonových pohybových zákonů a bude-li čas i mezí platnosti mechaniky klasické (mechanika relativistická a kvantová).

Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám

Síly vtištěné versus reakce podložky. Parametrický popis plochy, normála. Lagrangeovy rovnice I.druhu (intuitivní zavedení, rozbor a ilustrace na jednoduchých příkladech). Obecný tvar rovnic pro N hmotných bodů, v vazeb. Klasifikace vazeb: jednostranná - oboustranná, holonomní - neholonomní, skleronomní - rheonomní. Virtuální posunutí a dynamika systému s vazbami: d'Alembertův princip. Důsledky principu: Newtonovy rovnice pro pohyb bez vazeb, hledání rovnováhy pomocí principu virtuální práce, ekvivalence s Lagrangeovými rovnicemi I.druhu.

Lagrangeovy rovnice II.druhu

Zobecněné souřadnice aneb nepoužívejme jen (x,y,z). Occamova břitva aneb nepoužívejme více souřadnic, než kolik je nezbytně nutno. Konfigurační prostor: Zénónův paradox šípu a nezávislost zobecněných rychlostí na zobecněných souřadnicích. Odvození Lagrangeových rovnic II.druhu. Lagrangeova funkce L: případ bez potenciálu, s potenciálem, se zobecněným potenciálem (pohyb částice v elektromagnetickém poli). Ilustrace jak elegantně dospět k pohybovým rovnicím na příkladě cykloidálního kyvadla.

Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu

Kuchařka pro sestavení pohybových rovnic (vhodná volba zobecněných souřadnic, vyjádření T a V v těchto souřadnicích, sestavení L, příslušné derivace, jejich dosazení do Lagrangeových rovnic II.druhu). Ilustrace: pohyb částice v poli centrální síly. Metody a triky integrace pohybových rovnic: hledání přibližného řešení pomocí linearizace (matematické kyvadlo), hledání integrálů pohybu (cyklické souřadnice -> zachování zobecněných hybností, explicitní nezávislost L na čase -> zachování zobecněné energie). Ilustrace: Binetův vzorec pro pohyb v centrálním poli.

Pohyb planet a další aplikace

Keplerova úloha neboli obíhání planet v gravitačním poli Slunce. Odvození Keplerových zákonů. Metoda efektivního potenciálu. Srovnání klasické a relativistické mechaniky: pohyb kolem Slunce versus pohyb kolem černé díry, stáčení perihélia. Převedení problému dvou těles na pohyb částice s redukovanou hmotností v poli centrální síly. Problém 3 těles a nebeská mechanika, několik slov o chaosu. Rozptyl částic, efektivní průřez a Rutherfordův vztah.

Hamiltonův variační princip

Základy variačního počtu (motivace a vysvětlení pojmu extremála: Fermatův princip, brachystochrona, geodetiky v obecné teorii relativity). Odvození podmínky pro extremálu: Eulerovy-Lagrangeovy rovnice. Definice akce a Hamiltonův variační princip mechaniky. Jeho hlavní důsledky: Lagrangeovy rovnice II.druhu i I. druhu. Symetrie a zákony zachování (teorém Emmy Noetherové pro invariantní L). Zmínka o kalibračních transformacích a polích. Náznak zobecnění variačního přístupu pro pole klasické i kvantové.

Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky

Zobecněná hybnost neboli kanonicky sdružený impuls. Zavedení fázového prostoru s ukázkami různých pohybů (oscilátor, tlumení, chaos). Hamiltonova funkce. Odvození Hamiltonových kanonických rovnic z Hamiltonova principu i z rovnic Lagrangeových. Ilustrace kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli). Význam Hamiltonova formalismu pro kvantovou teorii (Schrödingerova rovnice, Feynmanovy diagramy jakožto rozvoj interakčního hamiltoniánu) a statistickou fyziku (partiční funkce). Definice, základní vlastnosti a algebra Poissonových závorek. Analogie s komutátory v kvantové mechanice.

Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie

Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti (přehled základních algoritmů, příklad). Analogie s termodynamickými potenciály. Odvození Hamiltonovy-Jacobiho rovnice jakožto důsledku vhodné kanonické transformace, algoritmus jejího řešení, metoda separace proměnných a příklad (volný pád). Aplikace ve fyzice: optika (vlnoplocha -> paprsek), kvantová mechanika (kvaziklasické přiblížení: Schroedingerova rovnice -> Hamiltonova-Jacobiho rovnice), Feynmanova formulace kvantové teorie pomocí dráhových integrálů.

Mechanika tuhého tělesa

Opakování vektorů a tenzorů v Euklidovském prostoru. Grupa konečných rotací a algebra infinitesimálních rotací. Jejich reprezentace pomocí antisymetrických matic, zavedení vektoru úhlové rychlosti jakožto duálu k nim. Otáčení tělesa kolem pevné osy, tenzor setrvačnosti. Vlastní čísla a vektory včetně interpretace elipsoidu setrvačnosti. Kinetická energie rotačního pohybu. Rozklad pohybu na translaci a rotaci (Chaslesova věta). Důsledek pro kinetickou energii (Koenigova věta). Drobná perlička: jednoduché odvození pohybových rovnic v neinerciálním systému z Lagrangeovy funkce.

Eulerovy rovnice a setrvačníky

Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Lagrangeova funkce pro tuhé těleso a odvození Eulerových dynamických rovnic. Ukázkové příklady: analýza pohybu symetrického bezsilového setrvačníku.

Teorie kontinua

Přechod od soustavy hmotných bodů ke spojitému prostředí. Ilustrace: hustota Lagrangeovy funkce pro příčné kmity struny. Odvození Eulerových-Lagrangeových pohybových rovnic pro spojité prostředí z Hamiltonova principu. Vlnová rovnice a základní metody jejího řešení: a) d'Alembertova metoda, b) separace proměnných (vlastní frekvence, okrajové a počáteční podmínky, Fourierova analýza). Perspektivy: klasická pole a jejich kvantování. Dva možné popisy pohybu kontinua: Lagrange versus Euler. Vektor posunutí a pole rychlosti.

Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua

Připomenutí tenzoru malých deformací a tenzoru napětí. Pohybová rovnice obecného kontinua a rovnice kontinuity, podmínky rovnováhy. Reologická klasifikace látek (od tuhé látky po ideální tekutinu). Zobecněný Hookův zákon pro izotropní těleso s interpretací příslušných koeficientů.

Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua

Pohybová rovnice izotropního prostředí. Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny a vlny v ní, odvození rychlosti zvuku. Bernoulliova rovnice jakožto 1.integrál. d'Alembertův hydrodynamické paradoxon pro nevířivou a nestlačitelnou ideální tekutinu. Navierova-Stokesova pohybová rovnice pro vazkou tekutinu. Ilustrace: proudění dlouhou trubicí (odvození parabolického rychlostního profilu a Poiseuillova-Hagenova zákona). Krátce o laminárním proudění versus turbulenci a Reynoldsově čísle.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK