|
|
|
||
|
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy teorie pravděpodobnosti, užívanými ve finanční a pojistné matematice. Jedná se především o pojem obecné podmíněné střední hodnoty a diskrétního i spojitého martingalu. Budou studovány jejich základní vlastnosti a nejdůležitější příklady, především Wienerův proces a stochastický integrál.
Posluchači seznámení se základy stochastického kalkulu (Itoovo lemma). Aparát vybudovaný v této přednášce tvoří základy pro studium stochastických modelů ve finanční a pojistných matematice.
Poslední úprava: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (18.04.2019)
|
|
||
|
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy teorie pravděpodobnosti, užívanými ve finanční a pojistné matematice. Poslední úprava: T_KPMS (17.05.2013)
|
|
||
|
Ústní zkouška. Poslední úprava: Zichová Jitka, RNDr., Dr. (29.05.2019)
|
|
||
|
P. Lachout: Diskrétní martingaly, skripta MFF UK B. Oksendal: Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, 2010 (sedmé vydání) I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1988 (první vydání) J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer-Verlag, 2001 Poslední úprava: T_KPMS (11.05.2015)
|
|
||
|
Přednáška. Poslední úprava: T_KPMS (17.05.2013)
|
|
||
|
The examination will be oral.
Requirements (may be slightly modified according to the stuff talked over):
Basic Notions and Theorems: 1. Basics from the theory of random processes : Conditional expectations w.r.t. sigma-algebra, its basic properties and interpretation., Daniell-Kolmogorov, the principle of construction of a random process by its finite-dimensional distributions. Kolmogorov-Chentsov continuity test and application to the existence proof of the Wiener process (the basic idea).
2. Martingales: Stochastic basis, filtrations, usual conditions. Adapted and progressively measurable processes and relations between them. The concept of (sub-, super-) martingales, L^2- martingales, local martingales, examples. Basic properties of martingales. Stopping times and their basic properties, examples. Measurability of the stopped process. Optional Sampling Thm. Maximal inequalities. Concept of increasing natural (predictable) process, the class (DL). Doob-Meyer decomposition of a contuinuous submartingale and applications in the definition of quadratic variation. Examples of D-M decompositions of martingales. Quadratic variation as a limit of partial sums.
3. Stochastic Analysis: Wiener process - motivation, definition and basic properties, what is the relation the the concept of white noise? Stochastic integral - definition and a basic properties, connection with the Lebesgue - Stieltjes integral. Stochastic differential and Ito formula - formulation and applications in the examples. Stochastic bilinear equation (dX= f(t)X dt + g(t)X dW) and geometric Brownian motion, the formula for solution . Linear equation (dX=f(t)X dt + g(t)dW), the formula for solution (variation of constants) .
Proofs: Show that Wiener and the "compensated" Poisson process are martingales and find their Doob-Meyer decomposition, proof of Ito isometry for step functions. Intuitive derivation of Ito formula. Proof of the formulas for solutions to bilinear and linear equations (the two examples following the Ito lemma). Obviously, the knowledge of all definitions and basically all statements presented during the lecture is necessary for the exam to be successful. The level of understanding of the topic is important as well. Poslední úprava: Maslowski Bohdan, prof. RNDr., DrSc. (26.02.2018)
|
|
||
|
1. Podmíněná střední hodnota vůči sigma-algebře, náhodný proces, konečně-rozměrná rozdělení, Daniellova-Kolmogorovova a Kolmogorovova-Čencovova věta. 2. Martingaly, definice sub- a supermartingalu, filtrace, základní příklady. Markovské časy a časy prvního vstupu náhodného procesu do podmnožiny stavového prostoru. Maximální nerovnosti, Doobův-Meyerův rozklad. 3. Kvadratická variace martingalu, Wienerův proces a jeho základní vlastnosti. 4. Stochastický integrál vůči Wienerovu procesu, definice a základní vlastnosti. Stochastický diferenciál a Itoova formule - příklady. 5. Stochastický integrál vůči martingalu - úvod. Poslední úprava: T_KPMS (11.05.2015)
|
|
||
|
K zápisu je požadována základní znalost matematické analýzy (včetně základů teorie míry a integrálu) a znalost základů teorie pravděpodobnosti. Poslední úprava: Maslowski Bohdan, prof. RNDr., DrSc. (24.05.2018)
|