Matematika M2 (b) - MS710P76

• Anglický název: Mathematics M2 (b)
• Český název: Matematika M2 (b)
• Podoba výuky: přednáška+cvičení
• Zajišťuje: Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky (31-710)
• Fakulta: Přírodovědecká fakulta
• Platnost: od 2025
• Počet semestrů výuky: 1
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Způsob provedení zkoušky: letní s.:
• Rozsah, examinace: letní s.:2/4, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Maximální kapacita předmětu: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Poznámka: povolen pro zápis po webu; při zápisu přednost, je-li ve stud. plánu
• Garant: RNDr. Naděžda Krylová, CSc.
• Neslučitelnost : MS710P53, MS710P74
• Je neslučitelnost pro: MS710P74, MS710P55, MS710P56
• Ve slož. prerekvizitě: MC260P01C, MC260P01M, MC260P02C
• Ve slož. korekvizitě pro: MC260P112

Anotace

Předmět Matematika M2 (b) navazuje na látku, která je probrána v matematice M1 v předchozím semestru a má pomoci studentům 1. ročníku biochemie, resp. medicinální chemie seznámit se s dalšími partiemi matematiky, potřebnými ve fyzice a ve fyzikální chemii. Budou probrány základy lineární algebry (maticový počet, lineární prostory, lineární zobrazení, užití vlastností lineárních zobrazení při řešení lineárních rovnic), pak řešení lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty a základy teorie soustav lineárních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty, dále základní důležité pojmy z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, včetně integrálu křivkového a základů teorie vektorových polí. Poslední partií bude nevlastní integrál a základy teorie nekonečných řad číselných, resp. řad funkcí. Pomoci pochopit probranou látku by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních.

Poslední úprava: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (31.08.2026)

Literatura

Základní literatura:  

A. Klíč a kolektiv: Matematika I ve strukturovaném studiu I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2011, 2007, 2004, 1998)

D. Turzík a kolektiv: Matematika II ve strukturovaném studiu II. VŠCHT, Praha 2014 (také 2005, 2002, 1998)

L.Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2008)

 

Literatura rozšiřující (podrobnější) pro zájemce:

J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce I, Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990)

J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce II. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990)

P.Olšák: Lineární algebra. Praha, 2010

J. Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005

J. Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005

Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, Praha 2004

Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2007

Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky III, Matfyzpress, Praha 2007

Jiří Kopáček a kol.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky I, Matfyzpress, Praha 2005

Jiří Kopáček a kol.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2006

Jiří Kopáček a kol.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky III, Matfyzpress, Praha 2006

Jiří Veselý: Základy matematické analýzy I, Matfyzpress, Praha 2004

Jiří Veselý: Základy matematické analýzy II, Matfyzpress, Praha 2009

Poslední úprava: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (31.08.2026)

Kontroly studia předmětu a podmínky pro jejich úspěšné vykonání, způsob hodnocení

Průběh zkoušky: 

Před zkouškou je nutné získat zápočet ze cvičení.
Pořadavky k udělení zápočtu:
Zápočet se uděluje za přiměřenou aktivitu studenta na cvičení, za vypracování domácích úkolů nebo za úspěšné splnění zápočtových testů, dle požadavků cvičících. 

Zkouška z matematiky má dvě části - písemnou a ústní. 

Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny. a řeší se v ní tyto úlohy:

1. příklad z lineární algebry;
2. řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu, resp. soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu, s konstatními koeficienty - obecné řešení i řešení počáteční úlohy;
3. příklad z diferenciálního počtu funkcí dvou proměnných  - základní pojmy (definiční obor, výpočet parciálních derivací, totální diferenciál, lineární aproximace funkce, vyšetření lokálních nebo globálních extrémů)
4. příklad užití věty o implicitní funkci (pro implicitně definované funkce jedné, resp. dvou proměnných, vyšetření vlastností implicitně definovaných funkcí);
4. výpočet dvojného, resp. trojného integrálu (Fubiniho věta, substituce do vhodných souřadnic);
5. výpočet křivkového integrálu skalární nebo vektorové funkce, ověření potenciálosti daného vektorového pole a výpočet potenciálu.

Každá úloha obsahuje kromě početní části i otázky teoretické, které souvisí s daným problémem početním.

K postoupení k ústní části je třeba získat alespoň polovinu bodů z písemné části.

V ústní části zkoušky probereme řešení testu a jeho hodnocení, mohou být položeny otázky k doplnění řešení, pak i další otázky teoretické.

Požadavky ke zkoušce:

Lineární algebra: lineární prostory Rⁿ, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, báze a dimenze prostoru Rⁿ; matice a operace s maticemi; ekvivalentní úpravy matice, hodnost matice; regulární a singulární čtvercová matice, definice inverzní matice, existence inverzní matice; determinant čtvercové matice - definice a vlastnosti, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce, výpočet determinantu; soustavy lineárních rovnic a jejich řešení - Frobeniova věta, Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda; výpočet inverzní matice a její užití při řešení soustav lineárních rovnic; řešení soustavy s regulární maticí užitím Cramerova pravidla; lineární zobrazení  z Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matic; vlastnosti lineárního zobrazení – zobrazení prosté, na, inverzní; vlastní čísla a vlastní vektory matice;  vektorový (lineární) prostor obecně - definice, základní pojmy, příklady lineárních prostorů; příklady lineární zobrazení vektorových prostorů. 

Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice v intervalu; lineární diferenciální rovnice 2.řádu - počáteční (Cauchyho) úloha, věta o existenci a jednoznačnosti
řešení počáteční úlohy; obecné řešení lineární diferenciální rovnice 2.řádu - řešení homogenní rovnice (dimenze lineárního prostoru řešení, fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice bez pravé strany), řešení rovnice s pravou stranou - metoda variace konstant; lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice bez pravé strany; partikulární a obecné řešení rovnice s pravou stranou, nalezení partikulárního řešení metodou variace konstant a odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany (odhad reálnou funkcí i odhad komplexní exponenciální funkcí); nalezení řešení počáteční úlohy; soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (s nulovými pravými stranami a jednoduchými nenulovými pravými stranami).

Diferenciální počet funkcí více proměnných: metrický prostor Rⁿ - metrika, okolí bodu, množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, hromadný bod množiny, uzávěr množiny, souvislá množina, oblast; skalární a vektorová funkce více reálných proměnných - definiční obor, příklady; limita a spojitost - základní věty o limitách a spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí; parciální derivace - definice, základní věty a výpočet, záměnnost parciálních derivací vyšších řádů; gradient funkce; definice derivace ve směru; diferencovatelnost funkce, (totální) diferenciál funkce - definice, geometrický význam (tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných ), lineární aproximace funkce (aproximace funkce pomocí totálního diferenciálu), souvislost mezi diferencovatelností funkce a existencí parciálních derivací, postačující podmínka pro diferencovatelnost funkce (pro existenci totálního diferenciálu); věta o derivaci složené funkce více proměnných, vzorec pro výpočet derivace ve směru, užití věty o derivování složených funkcí pro transformaci diferenciálních operátorů při změně souřadnic; Taylorův polynom pro funkce více proměnných; implicitní funkce jedné i více proměnných - výpočet derivací funkce dané implicitně; aproximace implicitně definované funkce Taylorovým polynomem 1. nebo 2. stupně; rovnice tečny ke křivce dané rovnicí F(x,y) = 0 a tečné roviny k ploše dané rovnicí F(x,y,z) = 0; extrémy funkcí více proměnných - globální extrém funkce na dané množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro existenci lokálního extrému u funkcí dvou proměnných; globální extrémy spojité funkce dvou proměnných na uzavřené a omezené množině.

Dvojný a trojný integrál: definice dvojného a trojného integrálu; měřitelná množina, nutná podmínka integrovatelnosti funkce na měřitelné množině, postačující podmínky integrovatelnosti,; základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu; výpočet - Fubiniova věta (převedení dvojného, resp. trojného integrálu na integraci dvojnásobnou, resp. trojnásobnou); věta o substituci (do polárních, válcových nebo sférických souřadnic); užití dvojného a trojného integrálu při výpočtu obsahu rovinné oblasti, objemu a hmotnosti tělesa, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti rovinných nebo prostorových hmotných oblastí.

Křivkový integrál: křivka v R² (R³) - definice, vektorové rovnice a parametrické vyjádření křivky, tečna ke křivce, délka křivky; křivkový integrál skalární funkce - definice, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence, základní vlastnosti, výpočet, aplikace; křivkový integrál vektorové funkce - definice převedením na křivkový integrál ze skalární funkce, výpočet, vlastnosti; nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě, potenciální vektorové pole - nutná a postačující podmínka nezávislosti křivkového integrálu na cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, výpočet potenciálu, vzorec pro výpočet práce potenciálního pole.

A u ústní části zkoušky mohou být i otázky z posledních partií přednášky:

Nevlastní integrál: definice, pojem konvergence a divergence nevlastního integrálu, kriteria konvergence integrálu nezáporné funkce (srovnávací, limitní srovnávací kriterium), absolutní konvergence nevlastního integrálu.

Nekonečné řady: 

Nekonečné číselné řady -  konvergence, divergence řady, definice součtu nekonečné řady, základní vlastnosti nekonečných řad, nutná podmínka konvergence řady, kriteria konvergence řad s nezápornými členy (srovnávací, limitní srovnávací a integrální kriterium), pojem absolutní konvergence řady.

Nekonečné funkční řady -  řady mocninné  - obor konvergence, poloměr konvergence, základní vlastnosti. 

 

Poslední úprava: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (31.08.2026)

Sylabus

Lineární algebra:  vektory a vektorové prostory, lineární kombinace vektorů, lineární závislost, resp. nezávislost vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru, příklady důležitých vektorových prostorů, spec. n-rozměrný aritmetický vektorový prostor Rⁿ;  soustavy lineárních rovnic a nástroje k jejich řešení (maticový počet); lineární zobrazení vektorových prostorů , zvláště lineární zobrazení z Rⁿ do R^m a jeho reprezentace maticemi; vlastní čísla a vlastní vektory matice; lineární rovnice ve vektorových prostorech obecně a užití vlastností lineárních zobrazení při řešení lineárních rovnic.

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty (počátečních úloha); řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstant i odhadem; komplexní exponenciela. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (jen stručné seznámení a jednoduché příklady).

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných: Euklidovský prostor Rⁿ, metrika, konvergence v prostoru Rⁿ,  bodové množiny v Rⁿ; vektorová funkce jedné proměnné, limita, spojitost derivace; dále skalární a vektorové funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace složených funkcí více proměnných; Taylorova věta pro funkce více proměnných; věta o implicitních funkcích (jedné i více proměnných) a její užití; extrémy funkcí dvou proměnných.

Dvojný a trojný Riemannův integrál: definice, podmínky existence, výpočet - Fubiniova věta, věta o substituci (do polárních, sferických a cylindrických souřadnic), aplikace.

Křivkový integrál: měřitelná křivka v R² a R³, křivkový integrál skalární a vektorové funkce, potenciální vektorové pole - nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě, potenciál vektorového pole a jeho užití pro výpočet práce potencionálního vektorového pole po dané křivce. 

A jen základní poznatky:

Nevlastní Riemannův integrál: definice, výpočet podle definice, kriteria konvergence integrálu nezáporných funkcí, absolutní konvergence.

Nekonečné řady: pojem konvergence a divergence nekonečné číselné řady, kriteria konvergence řad s nezápornými členy, alternující řady, absolutní konvergence; funkční řady, spec. mocninné a Taylorovy řady, a jejich vlastnosti a užití.

 

Poslední úprava: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (31.08.2026)