V sobotu dne 19. 10. 2024 dojde k odstávce některých součástí informačního systému. Nedostupná bude zejména práce se soubory v modulech závěrečných prací. Svoje požadavky, prosím, odložte na pozdější dobu. |
|
|
|
||
Matematika A2 navazuje na látku, která je probrána v matematice A1 v předchozím semestru. Je dokončena látka z lineární algebry (lineární zobrazení, užití vlastností lineárních zobrazení při řešení lineárních rovnic). Dále jsou probrány lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a základy teorie soustav lineárních rovnic 1.řádu (též s konstantními koeficienty). Následuje diferenciální počet (vektorových) funkcí více proměnných. Poté se probere integrální počet funkcí více proměnných, tj. dvojný a trojný integrál. A závěrem je probrán křivkový integrál včetně základů teorie vektorových polí.
Poslední úprava: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (15.05.2023)
|
|
||
Základní literatura: VŠCHT: A. Klíč a kolektiv: Matematika I ve strukturovaném studiu I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2011, 2007, 2004, 1998). L.Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2008). M.Dubcová, L.Purmová, C.Simerská: Sbírka příkladů z matematiky II ve strukturovaném studiu, VŠCHT, Praha 2008. PřF UK: J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce I, Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990). J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce II. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990). MU, Brno: Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 1.díl, Masarykova univerzita, Brno 2012. Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 2.díl, Masarykova univerzita, Brno 2014. Z.Došlá, P.Liška: Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách, Grada 2014.
Rozšiřující literatura (pro hlubší porozumění): Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2007. Jiří Kopáček: Integrály, Matfyzpress, Praha 2005. P.Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, FEL ČVUT Praha, 2007. J. Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005. J. Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005. Poslední úprava: Krylová Naděžda, RNDr., CSc. (17.02.2021)
|
|
||
Průběh zkoušky: Před zkouškou je nutné získat zápočet ze cvičení. Zápočet se uděluje za přiměřenou aktivitu studenta na cvičení, za vypracování domácích úkolů nebo za úspěšné splnění zápočtových testů, dle požadavků cvičících. Zkouška z matematiky má dvě části - písemnou a ústní (viz níže). Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny. V první části písemného testu se řeší tyto (početní) příklady: 1. příklad z lineární algebry - vlastnosti vektorových prostorů a lineárních zobrazení z Rn do Rm; Druhá část písemné práce obsahuje dvě teoretické otázky: definice, základní věty, jednoduché aplikace. K postoupení k ústní části je nezbytné získat alespoň polovinu bodů z písemné části. Ústní část zkoušky trvá přibližně 10 až 15 minut. Ústní část zkoušky slouží k určení známky na základě výsledku písemného testu. Požadavky ke zkoušce: Lineární algebra: řešení soustav lineárních rovnic a "maticový počet" z MA1; vektorový (lineární) prostor obecně - definice, základní pojmy, příklady lineárních prostorů; n-rozměrný aritmetický prostor Rn - n-rozměrný aritmetický vektor, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, báze a dimenze prostoru Rn; lineární zobrazení vektorových prostorů, spec.lineární zobrazení z Rn do Rm a jeho vyjádření pomocí matic; vlastnosti lineárního zobrazení – zobrazení prosté, na, inverzní; vlastní čísla a vlastní vektory matice. Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice v intervalu; lineární diferenciální rovnice 2.řádu - počáteční (Cauchyho) úloha, věta o existenci a jednoznačnosti Diferenciální počet funkcí více proměnných: metrický prostor Rn - metrika, okolí bodu, množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, hromadný bod množiny, uzávěr množiny, souvislá množina, oblast; skalární a vektorová funkce více reálných proměnných - definiční obor, příklady; limita a spojitost - základní věty o limitách a spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí; parciální derivace - definice, základní věty a výpočet, záměnnost parciálních derivací vyšších řádů; gradient funkce; definice derivace ve směru; diferencovatelnost funkce, (totální) diferenciál funkce - definice, geometrický význam (tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných ), lineární aproximace funkce (aproximace funkce pomocí totálního diferenciálu), souvislost mezi diferencovatelností funkce a existencí parciálních derivací, postačující podmínka pro diferencovatelnost funkce (pro existenci totálního diferenciálu); věta o derivaci složené funkce více proměnných, vzorec pro výpočet derivace ve směru, užití věty o derivování složených funkcí pro transformaci diferenciálních operátorů při změně souřadnic; Taylorův polynom pro funkce více proměnných; implicitní funkce jedné i více proměnných - výpočet derivací funkce dané implicitně; aproximace implicitně definované funkce Taylorovým polynomem 1. nebo 2. stupně; rovnice tečny ke křivce dané rovnicí F(x,y) = 0 a tečné roviny k ploše dané rovnicí F(x,y,z) = 0; extrémy funkcí více proměnných - globální extrém funkce na dané množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro existenci lokálního extrému u funkcí dvou proměnných; globální extrémy spojité funkce dvou proměnných na uzavřené a omezené množině. Dvojný a trojný integrál: definice dvojného a trojného integrálu; měřitelná množina, nutná podmínka integrovatelnosti funkce na měřitelné množině, postačující podmínky integrovatelnosti,; základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu; výpočet - Fubiniova věta (převedení dvojného, resp. trojného integrálu na integraci dvojnásobnou, resp. trojnásobnou); věta o substituci (do polárních, válcových nebo sférických souřadnic); užití dvojného a trojného integrálu při výpočtu obsahu rovinné oblasti, objemu a hmotnosti tělesa, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti rovinných nebo prostorových hmotných oblastí. Křivkový integrál: křivka v R2 (R3) - definice, vektorové rovnice a parametrické vyjádření křivky, tečna ke křivce, délka křivky; křivkový integrál skalární funkce - definice, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence, základní vlastnosti, výpočet, aplikace; křivkový integrál vektorové funkce - definice převedením na křivkový integrál ze skalární funkce, výpočet, vlastnosti; nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě, potenciální vektorové pole - nutná a postačující podmínka nezávislosti křivkového integrálu na cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, výpočet potenciálu, vzorec pro výpočet práce potenciálního pole. Poslední úprava: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (16.05.2023)
|
|
||
Pokračování lineární algebry z MA1: lineární zobrazení, zvláště lineární zobrazení z Rn do Rm a jeho reprezentace maticemi. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty (počátečních úloha); řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstant i odhadem; komplexní exponenciela. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (jen stručné seznámení a jednoduché příklady). Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných: Euklidovský prostor Rn, metrika, konvergence v prostoru Rn, bodové množiny v Rn; vektorová funkce jedné proměnné, limita, spojitost derivace; dále skalární a vektorové funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace složených funkcí více proměnných; Taylorova věta pro funkce více proměnných; věta o implicitních funkcích (jedné i více proměnných) a její užití; extrémy funkcí dvou proměnných. Dvojný a trojný Riemannův integrál: definice, podmínky existence, výpočet - Fubiniho věta, věta o substituci (polární, sferické a cylindrické souřadnice), aplikace. Křivkový integrál: měřitelná křivka v R2 a R3, křivkový integrál skalární a vektorové funkce, potenciální vektorové pole, potenciál vektorového pole, nezávislost křivkového integrálu potenciálního pole na cestě. Poslední úprava: Dolanský Jindřich, Ing., Ph.D. (15.05.2023)
|