Geometrie - OKMN0M136A

• Anglický název: Geometry
• Zajišťuje: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Fakulta: Pedagogická fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Způsob provedení zkoušky: letní s.:
• Rozsah, examinace: letní s.:0/0, Zk [HT]
• Rozsah za akademický rok: 12 [hodiny]
• Počet míst: neurčen / neurčen (neurčen)
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: kombinovaný
• Poznámka: předmět je možno zapsat mimo plán; povolen pro zápis po webu
• Garant: doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D.
• Prerekvizity : OKMN0M106A
• Záměnnost : OPMN0M136A
• Je prerekvizitou pro: OKMN0M145A

Anotace

čeština

Kurz geometrie je zaměřen především na rozvoj kognitivních schopností a prohlubování poznatků z geometrie studentů. Studenti jsou vedeni k samostatnému objevování geometrických vztahů, upřesňování pojmů a rozvíjení geometrických představ porovnáváním řešení úloh v různých prostředích, mnohým experimentováním a zobecňováním. V centru pozornosti bude zkoumání mnohoúhelníků, které budou poznávány a hlouběji studovány v prostředí čtverečkovaného papíru. Dále budou studovány geometrické relace ve 2D: rovnoběžnost, kolmost, různoběžnost, shodnost (úseček, úhlů, útvarů), některá shodná zobrazení (osová souměrnost, středová souměrnost, posunutí) a míra geometrických útvarů s poukazy na jejich didaktické zpracování ve školské geometrii. Zkoumání mřížových útvarů povede směrem ke zobecnění na "čistý" papír" (Eukleidovskou rovinu).

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (19.02.2026)

angličtina

The geometry course focuses primarily on developing students' cognitive abilities and deepening their knowledge of geometry. Students are encouraged to independently discover geometric relationships, refine concepts, and develop geometric ideas by comparing solutions to problems in different environments, through much experimentation and generalization. Our focus will be on exploring polygons, which will be explored and studied in depth in a square grid paper environment. Geometric relations in 2D are also studied: parallelism, perpendicularity, divergence, congruence (of segments, angles, figures), some congruent representations (axial symmetry, center symmetry, translation) and measure of geometric figures. We will always start from grid figures to figures on "pure" paper (in the Euclidean plane). Students will always be offered the possibility of differentiation, i.e., students will be offered both sets of problems to practice the material covered as well as extension problems.

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (01.02.2025)

Cíl předmětu

Cílem kurzu je na základě vlastní aktivní činnosti zažít proces

- tvorby pojmů od konkrétních modelů v manipullačních prostředí po abstraktní pojem,
- objevování geometrických vztahů prostřednictvím řešení sérií gradovaných úloh, 
- upřesňování geometrického jazyky od jazyka běžného života po geometrickou terminologii v závislosti na rozoji porozumění pojmům. 

Přitom bude student 

- rozvíjet své kognitivní schopnosti, 
- prohlubovat porozumění geometrickým pojmům a relacím,
- rozvíjet dovednosti formulovat hypotézy, prověřovat je a argumentovat,
- osvojovat si heuristické metody ve 2D geometrii,
- poznávat propojení geometrie a aritmetiky například možnostmi vizualizace aritmetických pojmů nástroji geometrie. 

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (19.02.2026)

Deskriptory

 

Výuka se koná prezenčně. V případě změny situace bude převedena na online, platformu Zoom. Link bude vložen a zaslán studentům včas. 

přímá výuka - 4 setkání po 3 hodinách, celkem 12 h

písemné přípravy  - 6 h na setkání, celkem 24 h

studium odborné literatury - 24 h

průběžné úkoly - 20 h

zpracování seminární práce, portfolia a příprava na zkoušku - 30 h

Předpokládané časové zatížení studentů je celkem 110 h

Materiály ke studiu jsou vloženy do kurzu v Moodlu: https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=16614

Klíč k zápisu obdrží studenti při prvním semináři, případně mailem. 

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (17.02.2025)

Literatura

V průběhu semestru budou vkládány do Moodlu texty k probírané látce se sériemi úloh a odkazy na další relevantní zdroje. 

Hejný, M., Jirotková, D. (1999). Čtverečkovaný papír jako most mezi geometrií a aritmetikou. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta.

Učebnice matematiky pro I. stupeň.

Různé sbírky úloh a matematických problémů, soubory úloh z Klokánka či jiných soutěží pro žáky 1. stupně ZŠ, výběr úloh 2D geometrie.

Jirotková, D.: Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie. Univerzita Karlova v Praze. 2010 (s. 7 - 201)

Hejný, M.: Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně. Univerzita Karlova v Praze. 2014

Program GeoGebra: odkaz na stránku, kde je možné stáhnout verze pro různé operační systémy od Windows až po tablety: https://www.geogebra.org/download a další odkaz na manuál: https://wiki.geogebra.org/cs/P%C5%99%C3%ADru%C4%8Dka

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (01.02.2025)

Metody výuky

Semináře - řešení úloh vedoucích k zavedení pojmů, relací, procesů, skupinová diskuse o didaktickém potenciálu úloh a o řešitelských strategiích vedoucí k ujasnění základních teoretických pojmů, vztahů a vlastností rovinných útvarů a jejich zařazení do teoretické struktury oboru, i samostatné řešení problémů. Studentům bude vždy nabídnuta možnost diferenciace, tzn. studentům budou nabízeny jak sady úloh na procvičení probírané látky, tak úlohy nadstavbové. 

Samostudium - předpokládá se, že student bezpečně zvládá probíranou tematiku (2D geometrie) alespoň na úrovni absolventa 9. ročníku ZŠ. Dále se předpokládá dobrá znalost obsahu kurzu USMA I. Studijní opora pro semináře i k samostudiu je v poskytnuta v odpovídajícím kurzu Moodlu, je průběžně aktualizována a doplňována. 

Výuka bude vedena převážně formou řešení úloh a diskuse a občas i formou převrácené třídy.

Studenti dostanou před každým seminářem materiály k nastudování, vypracování sady úloh přednostně ve skupinách. Po semináři studenti dostanou úlohy pro samostatné ověření svyých očekávaných znalostí. 

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (19.02.2026)

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce:

1. Aktivní účast na seminářích podložená znalostí obsahu přednášek. Aktivitou se rozumí účast ve společných diskusích, samostatné řešení úloh a problémů a jejich prezentování, účast na reflexích jednotlivých aktivit v Moodlu. Náhrada za absenci je formulována v Moodlu. 

2. Soubor průběžně řešených úloh zadaných jak pro přípravu na výuku, tak pro procvičení a doplnění probraného učiva, které jsou součástí učebního materiálu v Moodlu.

3. Zpracovaná sebereflexe v podobě vyznačení míry naplnění kognitivních cílů. 

4. Vypracování seminárního úkolu - zpracování jednoho tématu zvoleného z nabídky v Moodlu. 

5. Jak soubor řešených úloh, tak seminární úkol vloží student do vyhrazeného prostoru v Moodlu nejpozději tři dny před termínem zkoušky.

V kurzu se předpokládá  znalost geometrie na úrovni 2. st. ZŠ. 

Zkouška se sestává z písemné a ústní části. V písemné části student řeší dvě úlohy. V ústní části probíhá rozprava nad danými dvěma řešenými úlohami, nad předloženým souborem řešených úloh a nad seminární prací. Soubor úloh i seminární úkol je potřeba přinést ke zkoušce v tištěné nebo elektronické podobě. 

Hodnocení ústní zkoušky: Kromě ústního projevu budou podkladem k hodnocení i kvalita zpracování veškerých písemných materiálů. 

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (19.02.2026)

Sylabus

Obsah kurzu:

V prostředí čtverečkovaného papíru budou poznávány geometrické rovinné útvary, budou popisovány pomocí jejich průvodních jevů, budou zkoumány jejich vazby uvnitř útvaru a také vazby mezi útvary. Dále budou zkoumány jejich metrické vlastnosti jako délky úseček, obsahy rovinných útvarů, velikosti úhlů a budou hledány nástroje argumentace. Vyjadřování vzájemné polohy bodů pomocí "cestování" na čtverečkovaném papíru položí do budoucna základy analytické geometrie a umožní též propojit geometrickou látku na úlohy kombinatorického charakteru. Bude podrobně probrána metoda odhalování vazeb a zobecňování, a sice metoda postupného uvolňování parametru. Využije se i k odhalení klíčových geometrických poznatků - Pickovy formule a Pythagorovy věty.
Celý semestr bude provázet v různých modifikacích i didaktická matematická hra SOVA, která povede i k poznávání 2D útvarů.

Témata výuky:

1. Orientace na čtverečkovaném papíru

2. Souřadnice, jejich odvození; další zápisy bodů (souřadnicový zápis, vektorový zápis)

3. Trojúhelníky - zkoumání jejich vlastností, jejich klasifikace, a konstrukce

4. Čtyřúhelníky - zkoumání jejich vlastností, jejich klasifikace, a konstrukce

5. Relace v geometrii - rovnoběžnost, kolmost, shodnost a jejich využití v konstrukcích

6. Obsah rovinných útvarů - metody určování obsahu mřížového útvaru, zejmén metoda rámování, Pickova formule

7. Délka mřížové úsečky, porovnávání délek úseček, obvod mřížového útvaru

8. Pythagorova věta - jejíé vyvození metodou uvolňování parametru

9. Pickova formule (metoda uvolňování parametru)

10. Poměr úseček, dělení úseček v daném poměru.

11. Nemřížové útvary

12. Podobné útvary

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (19.02.2026)

Výsledky učení

Student: 

- využívá geoboard pro modelování mnohoúhelníků a popíše a argumentuje jejich valstnosti.

- orientuje se na čtverečkovaném papíru, zapíše několika různými jazyky jakýkoliv mřížovýmnohoúhelník.

- vysvětlí postup, jak od šipkového zápisu lze dojít k vyvotení souřadnicového systému.

- prostřednictvím hry SOVA klasifikuje mnohoúhelníky a využívá jejich vlastnosti.

- vysvětlí vlastnosti relace rovnoběžnost, kolmost přímek, shodnost úseček využitím nástrojů čtverečkovaného papíru.

- několika způsoby zjistí obsah rovinných útvarů, zejména mřížových.

- určí bez měření délku úsečky, obvod obrazce.

- využije metodu uvolňování parametru pro objevování geometrických vztahů jako Pythagorova věta, Pickova formule.

- určí poměr délek úseček, rozdělí úsečku v daném poměru.

- řeší úlohy i o kvazimřížových útvarech.

- rozpozná a agrgumentuje podobnost mřížových útvarů, vytvoří podobný útvar s daným.

Poslední úprava: Jirotková Darina, doc. RNDr., Ph.D. (17.02.2025)