|
|
|
||
|
Úvodní kurs analýzy v komplexním oboru. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.
Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (30.01.2025)
|
|
||
|
Úvod do komplexní analýzy. Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
|
|
||
|
Pravidla pro rok 2017/2018:
Pro absolvování předmětu je třeba získat zápočet a složit zkoušku. Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.
K získání zápočtu je třeba odevzdat úplné a správné řešení dvou domácích úkolů. Zadání úkolů včetně postup upři jejich rezervaci a odevzdávání bude zveřejněno na webovské stránce přednášejícího. V případě, že odevzdané řešení bude neúplné či ne zcela správné, lze odevzdat opravu. Počet oprav není a priori omezen, je však nutné správné a úplné řešení obou úkolů odevzdat nejpozději týden před termínem zkoušky (do 14.1.2018 v případě prvního termínu).
Zkouška bude mít část písemnou (zaměřenou zejména na početní techniku) a ústní (zaměřenou zejména na pochopení teorie). Ústní část se skládá po úspěšném složení písemné části. Obě části jsou bodované a pro úspěšné složení zkoušky je třeba z každé části získat více než 50% bodů. Přesnější složení písemné části a seznamy otázek k ústní části budou zveřejněny během semestru v závislosti na skutečně probrané látce. Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2018)
|
|
||
|
Základní literatura
Veselý, J.: Komplexní analýza (pro učitele), Karolinum Praha, 2000.
Novák, B.: Analýza v komplexním oboru (skripta), SPN Praha, 1980.
Kopáček, J.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky IV, Matfyzpress 2009. Doplňková literatura. Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha, 1977; přepracované vydání 2003 Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (29.09.2017)
|
|
||
|
Přednáška a cvičení Poslední úprava: G_M (27.04.2012)
|
|
||
|
Pro rok 2017/2018: Nutnou podmínkou pro skládání zkoušky je předchozí získání zápočtu. Zkouška má část písemnou a ústní. Ústní část se skládá po předchozím úspěšném složení písemné části. V případě, že student nesloží písemnou část, je zkouška hodnocena známkou "neprospěl(a)" (tj. 4) a s ústní částí se nepokračuje. V případě, že student složí písemnou část a nesloží ústní část, je zkouška hodnocena známkou "neprospěl(a)" (tj. 4). Při opravném termínu je třeba znovu složit písemnou část. Z tohoto pravidla budou stanoveny výjimky (zisk stanoveného vyššího počtu bodů). Písemná část obsahuje několik příkladů, k jejichž řešení lze použít metody vyložené na přednášce či na cvičení. Během ústní části se testuje znalost a porozumění teorii vyložené během přednášek. Součástí bude formulace vět, dokazování vět a řešení problémů pomocí teorie vyložené během přednášek. Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2018)
|
|
||
|
1. Úvod
Těleso komplexních čísel, zápisy komplexního čísla, operace
Komplexní funkce reálné proměnné - spojitost, derivace, integrál
Komplexní funkce komplexní proměnné - spojitost, derivace podle komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce - definice a příklady (polynomy, rac. funkce)
2. Mocninné řady a elementární funkce Mocninné řady - poloměr konvergence, kruh konvergence, absolutní a lokálně stejnoměrná konvergence, derivování a integrování člen po členu
Exponenciála, goniometrické a hyperbolické funkce - definice a vlastnosti
Logaritmus a argument - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti,
obecná mocnina - množina hodnot, hlavní hodnota, vlastnosti
3. Křivkový integrál Křivka, cesta, integrál podél cesty, délka cesty
Vlastnosti integrálu podél cesty, výpočet pomocí primitivní funkce, záměna limity a integrálu, spojitost a derivace podle parametru
Charakterizace oblasti, existence primitivní funkce a integrál podél cesty
Spojitá větev logaritmu holomorfní funkce podél cesty, index bodu vzhledem k cestě a jeho vlastnosti
4. Lokální Cauchyova věta a její aplikace Cauchyova věta pro trojúhelník, hvězdovitá množina a Cauchyova věta pro ni, Cauchyův vzorec pro kruh, Cauchyův vzorec pro vyšší derivace, vyjádření mocninnou řadou, Cauchyovy odhady, Liouvilleova věta, základní věta algebry, násobnost kořenů, věta o jednoznačnosti, princip maxima modulu, Weierstrassova věta o limitě holomorfních funkcí, Morerova věta
5. Izolované singularity, Laurentovy řady, rezidua Rozšíření o nekonečno, Riemannova sféra, stereografická projekce
Izolované singularity - Casoratti-Weierstrassova věta, vlastnosti funkcí v nekonečnu Laurentovy řady - mezikruží konvergence, Laurentův rozvoj funkce holomorfní v mezikruží, vztah k izolovaným singularitám, reziduová věta, metody výpočtu reziduí
Jordanovo lemma
6. Globální Cauchyova věta a Cauchyův vzorec Řetězce, cykly, globální Cauchyova věta a vzorec Poslední úprava: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2017)
|