Kombinatorická teorie grup - NMAG431

• Anglický název: Combinatorial Group Theory
• Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: letní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. Mgr. Jan Šaroch, Ph.D.
• Vyučující: doc. Mgr. Pavel Růžička, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
• Neslučitelnost : NALG033
• Záměnnost : NALG033
• Je korekvizitou pro: NMAG432

Anotace

čeština

Kombinatorika slov ve volných grupách, prezentace grupy a související problémy slov. Formální a geometrické metody jejich řešení.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2020)

angličtina

Subgroups of free groups (Nielsen's and Reidemaister's method), Tietze transformations, HNN extensions, free products with an amalgamated subgroup, geometrical methods, Cayley complexes. Other selected topics in elementary combinatorical group theory.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2020)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Předpokládá se absolvování obou částí předmětu. Zkouška a zápočet budou uděleny v letním semestru.

Poslední úprava: Růžička Pavel, doc. Mgr., Ph.D. (29.10.2019)

angličtina

Students are assumed to attend both the winter and the summer semestr. The exam will be in summer.

Poslední úprava: Růžička Pavel, doc. Mgr., Ph.D. (29.10.2019)

Literatura

čeština

1. Rotman, J. J., An Introduction to The Theory of Groups (2nd ed.), Springer-Verlag, 1999.

2. Lyndon, R. C. and Schupp, P. E., Combinatorial Group Theory (Reprint of the 1977 ed.), Springer-Verlag, Berlin Heilderberg NY, 2001.

3. Magnus, W., Karrass, A., Solitar, D., Combinatorial Group Theory (Representation of Groups in Generators and Relations), Dower Publ. INC, Mineola NY, 2004.

4. Bogopolski, O., Introduction to Group Theory (EMS Textbooks in Mathematics, EMS Publ. House, Zurich, Switzerland, 2008.

Poslední úprava: Růžička Pavel, doc. Mgr., Ph.D. (10.10.2017)

Sylabus

čeština

Základy kombinatorcké teorie grup

1. Volná grupa, podgrupy volné grupy (Nielsenova a Reidemeisterova metoda), vztah indexu a hodnosti pro podgrupy konečného indexu, komutování ve volné grupě, konjugace a cyklicky redukovaná slova.

2. Tietzeho transformace.

3. HNN extenze, definující relace, Brittonovo lemma a normální forma prvků, aplikace HNN extenzí.

4. Volné součiny s amalgamovanou podgrupou, definující relace, normální forma prvků.

5. Geometrické metody, fundamentální grupa dvoudimenzionálního komplexu, použití pro důkaz volnosti podgrup volných grup, Kurošova věta o podgrupách volných součinů s amalgamovanou podgrupou, Gruško--von-Neumannova věta.

6. Cayleyovské komplexy.

Dále budou probírána vybraná témata z následujícího seznamu.

1. Higmanova vnořovací věta.

2. Teorie malého krácení (small cancellation theory).

3. Pletencová (braid) grupa, problém slov, faktory, souvislosti s automorfizmy volné grupy.

4. Grupy působící na stromech.

5. Hyperbolické grupy.

6. Teselace a Fuchsovské komplexy.

7. Řešitelnost problému slov pro grupy s jednou definující relací.

8. Bipolární struktury.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2020)

angličtina

Basics of combinatorial group theory:

1. Free group, subgroups of a free group (the method of Nielsen and Reidemeister), the relationship between the index and the rank of subgroup of a group of a finite index, subgroups of finite rank as free factors in a subgroup of a finite index. Conjugation and cyclically reduced words.

2. Tietze transformations.

3. HNN extensions, defining relations, Britton's lemma and the normal form theorem, applications of HNN extensions.

4. Free products with an amalgamated subgroup, defining relations, the normal form theorem.

5. Geometrical methods, the fundamental group of a two-dimensional complex, application for a geometrical proof that a subgroup of a free group is free, Kurosh's theorem, Grushko -- von Neumann's theorem.

6. Cayley complexes

According to an interest, some of the following topics will be tought.

1. Higman's embedding theorem.

2. Small cancellation theory.

3. Braid group, the word problem, factors, connections to authomorphisms of free groups.

4. Groups acting on trees.

5. Hyperbolic groups.

6. Tessellations and Fuchsian complexes.

7. Solvability of the word problem for groups with one defining relation.

8. Bipolar structures.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (14.05.2020)

Vstupní požadavky

čeština

Základy teorie grup.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (17.05.2019)

angličtina

Basics of group theory.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (17.05.2019)