Mathematics A2I - MS710P53

• Title: Matematika A2
• Czech title: Matematika A2
• Guaranteed by: Institute of Applied Mathematics and Information Technologies (31-710)
• Faculty: Faculty of Science
• Actual: from 2021
• Semester: summer
• E-Credits: 8
• Examination process: summer s.:
• Hours per week, examination: summer s.:4/4, C+Ex [HT]
• Capacity: 100
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Note: enabled for web enrollment
• Guarantor: Ing. Jindřich Dolanský, Ph.D.
• Teacher(s): Ing. Jindřich Dolanský, Ph.D.
• Incompatibility : NMUM101
• Is incompatible with: MS710P54, MS710P55, MS710P56
• Is pre-requisite for: MC260P120, MC260P35N

Annotation

English

Last update: FORSTOVA/NATUR.CUNI.CZ (06.05.2011)

As a continuation of the course from the previous term S710P04A the main focus will be improper integral, series and the calculus of functions of several variables.

Czech

Last update: Ing. Jindřich Dolanský, Ph.D. (15.05.2023)

Matematika A2 navazuje na látku, která je probrána v matematice A1 v předchozím semestru. Je dokončena látka z lineární algebry (lineární zobrazení, užití vlastností lineárních zobrazení při řešení lineárních rovnic). Dále jsou probrány lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a základy teorie soustav lineárních rovnic 1.řádu (též s konstantními koeficienty). Následuje diferenciální počet (vektorových) funkcí více proměnných. Poté se probere integrální počet funkcí více proměnných, tj. dvojný a trojný integrál. A závěrem je probrán křivkový integrál včetně základů teorie vektorových polí.

Literature

Last update: RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (17.02.2021)

Základní literatura:

VŠCHT:

A. Klíč a kolektiv: Matematika I ve strukturovaném studiu I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2011, 2007, 2004, 1998).

D. Turzík a kolektiv: Matematika IIve strukturovaném studiu II. VŠCHT, Praha 2014 (také 2005, 2002, 1998).

L.Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky I. VŠCHT, Praha 2013 (také 2008).

M.Dubcová, L.Purmová, C.Simerská: Sbírka příkladů z matematiky II ve strukturovaném studiu, VŠCHT, Praha  2008.

PřF UK:

J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce I, Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990).

J. Štěpánek: Matematika pro přírodovědce II. Univerzita Karlova, Karolinum, Praha 1997 (1990).

N. Krylová, M. Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky II, Knihovna chemie PřF UK, Praha 2018.

MU, Brno:

Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 1.díl, Masarykova univerzita, Brno 2012.

Z.Došlá: Matematika pro chemiky, 2.díl, Masarykova univerzita, Brno 2014.

Z.Došlá, P.Liška: Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách, Grada 2014.

 

Rozšiřující literatura (pro hlubší porozumění):

Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2007.

Jiří Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky III, Matfyzpress, Praha 2007.

Jiří Kopáček a kol.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky II, Matfyzpress, Praha 2005.

Jiří Kopáček: Integrály, Matfyzpress, Praha 2005.

Jiří Veselý: Základy matematické analýzy I, Matfyzpress, Praha 2004, 2019.

Jiří Veselý: Základy matematické analýzy II, Matfyzpress, Praha 2009.

V.Hájková, M.Johanis, O.John, O.Kalenad, M.Zelený: Matematika, Matfyzpress, Praha 2012.

P.Olšák: Úvod do algebry, zejména lineární, FEL ČVUT Praha, 2007.

J. Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.

J. Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.

Requirements to the exam

Last update: Ing. Jindřich Dolanský, Ph.D. (16.05.2023)

Průběh zkoušky:

Před zkouškou je nutné získat zápočet ze cvičení. Zápočet se uděluje za přiměřenou aktivitu studenta na cvičení, za vypracování domácích úkolů nebo za úspěšné splnění zápočtových testů, dle požadavků cvičících.

Zkouška z matematiky má dvě části - písemnou a ústní (viz níže).

Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny.

V první části písemného testu se řeší tyto (početní) příklady:

1. příklad z lineární algebry - vlastnosti vektorových prostorů a lineárních zobrazení z Rⁿ do R^m;
2. řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu, resp. soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu, s konstatními koeficienty - obecné řešení i řešení počáteční úlohy;
3. příklady z diferenciálního počtu funkcí více proměnných (výpočet parciálních derivací, totální diferenciál, lineární aproximace, vyšetření lokálních nebo globálních extrémů funkce dvou proměnných, vyšetření vlastností implicitně definovaných funkcí);
4. výpočet dvojného, resp. trojného integrálu (Fubiniho věta, substituce do vhodných souřadnic);
5. výpočet křivkového integrálu skalární nebo vektorové funkce, ověření potenciálosti daného vektorového pole a výpočet potenciálu.

Druhá část písemné práce obsahuje dvě teoretické otázky: definice, základní věty, jednoduché aplikace.

K postoupení k ústní části je nezbytné získat alespoň polovinu bodů z písemné části.

Ústní část zkoušky trvá přibližně 10 až 15 minut.

Ústní část zkoušky slouží k určení známky na základě výsledku písemného testu.

Požadavky ke zkoušce:

Lineární algebra: řešení soustav lineárních rovnic a "maticový počet" z MA1; vektorový (lineární) prostor obecně - definice, základní pojmy, příklady lineárních prostorů; n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ - n-rozměrný aritmetický vektor, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, báze a dimenze prostoru Rⁿ; lineární zobrazení vektorových prostorů, spec.lineární zobrazení z Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matic; vlastnosti lineárního zobrazení – zobrazení prosté, na, inverzní; vlastní čísla a vlastní vektory matice.

Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice v intervalu; lineární diferenciální rovnice 2.řádu - počáteční (Cauchyho) úloha, věta o existenci a jednoznačnosti
řešení počáteční úlohy; obecné řešení lineární diferenciální rovnice 2.řádu - řešení homogenní rovnice (dimenze lineárního prostoru řešení, fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice bez pravé strany), řešení rovnice s pravou stranou - metoda variace konstant; lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - charakteristická rovnice, fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice bez pravé strany; partikulární a obecné řešení rovnice s pravou stranou, nalezení partikulárního řešení metodou variace konstant a odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany (odhad reálnou funkcí i odhad komplexní exponenciální funkcí); nalezení řešení počáteční úlohy; soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (s nulovými pravými stranami a jednoduchými nenulovými pravými stranami).

Diferenciální počet funkcí více proměnných: metrický prostor Rⁿ - metrika, okolí bodu, množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, hromadný bod množiny, uzávěr množiny, souvislá množina, oblast; skalární a vektorová funkce více reálných proměnných - definiční obor, příklady; limita a spojitost - základní věty o limitách a spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí; parciální derivace - definice, základní věty a výpočet, záměnnost parciálních derivací vyšších řádů; gradient funkce; definice derivace ve směru; diferencovatelnost funkce, (totální) diferenciál funkce - definice, geometrický význam (tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných ), lineární aproximace funkce (aproximace funkce pomocí totálního diferenciálu), souvislost mezi diferencovatelností funkce a existencí parciálních derivací, postačující podmínka pro diferencovatelnost funkce (pro existenci totálního diferenciálu); věta o derivaci složené funkce více proměnných, vzorec pro výpočet derivace ve směru, užití věty o derivování složených funkcí pro transformaci diferenciálních operátorů při změně souřadnic; Taylorův polynom pro funkce více proměnných; implicitní funkce jedné i více proměnných - výpočet derivací funkce dané implicitně; aproximace implicitně definované funkce Taylorovým polynomem 1. nebo 2. stupně; rovnice tečny ke křivce dané rovnicí F(x,y) = 0 a tečné roviny k ploše dané rovnicí F(x,y,z) = 0; extrémy funkcí více proměnných - globální extrém funkce na dané množině, lokální extrém, nutná podmínka pro lokální extrém, postačující podmínka pro existenci lokálního extrému u funkcí dvou proměnných; globální extrémy spojité funkce dvou proměnných na uzavřené a omezené množině.

Dvojný a trojný integrál: definice dvojného a trojného integrálu; měřitelná množina, nutná podmínka integrovatelnosti funkce na měřitelné množině, postačující podmínky integrovatelnosti,; základní vlastnosti dvojného a trojného integrálu; výpočet - Fubiniova věta (převedení dvojného, resp. trojného integrálu na integraci dvojnásobnou, resp. trojnásobnou); věta o substituci (do polárních, válcových nebo sférických souřadnic); užití dvojného a trojného integrálu při výpočtu obsahu rovinné oblasti, objemu a hmotnosti tělesa, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti rovinných nebo prostorových hmotných oblastí.

Křivkový integrál: křivka v R² (R³) - definice, vektorové rovnice a parametrické vyjádření křivky, tečna ke křivce, délka křivky; křivkový integrál skalární funkce - definice, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence, základní vlastnosti, výpočet, aplikace; křivkový integrál vektorové funkce - definice převedením na křivkový integrál ze skalární funkce, výpočet, vlastnosti; nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě, potenciální vektorové pole - nutná a postačující podmínka nezávislosti křivkového integrálu na cestě, potenciální vektorové pole, potenciál, výpočet potenciálu, vzorec pro výpočet práce potenciálního pole.

Syllabus

English

Last update: FORSTOVA/NATUR.CUNI.CZ (06.05.2011)

1. Improper integrals.

2. Sequences and serier: convergence properties of sequences, infinit series of constants, nonnegative series - the integral, the comparison and the ratio tests, alternating series and absolute convergence, power series, Taylor series.

3. Differential calculus of several variables: the metric space En, vector-valued function of several variables, limits and continuity, partial derivatives and differentials, chain rules, the gradient, directional derivatives, Taylor´s theorem, extreme values, differentiation of implicit functions.

4. Multiple integral: double and triple integrals, evaluation - iterated integrals, integration in polar, cylindrical and spherical coordinates, applications.

5. Calculus of vector fields: vector fields, basic curves and surfaces in the space, line integrals, line integrals of vector fields, the fundamental theorem of line integrals, conservative vector fields and potencial functions, applications of line integrals.

Czech

Last update: Ing. Jindřich Dolanský, Ph.D. (15.05.2023)

Pokračování lineární algebry z MA1: lineární zobrazení, zvláště lineární zobrazení z Rⁿ do R^m a jeho reprezentace maticemi. Vlastní čísla a vlastní vektory matice.

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty (počátečních úloha); řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstant i odhadem; komplexní exponenciela. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty (jen stručné seznámení a jednoduché příklady).

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných: Euklidovský prostor Rⁿ, metrika, konvergence v prostoru Rⁿ,  bodové množiny v Rⁿ; vektorová funkce jedné proměnné, limita, spojitost derivace; dále skalární a vektorové funkce více proměnných, limita, spojitost, parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace složených funkcí více proměnných; Taylorova věta pro funkce více proměnných; věta o implicitních funkcích (jedné i více proměnných) a její užití; extrémy funkcí dvou proměnných.

Dvojný a trojný Riemannův integrál: definice, podmínky existence, výpočet - Fubiniho věta, věta o substituci (polární, sferické a cylindrické souřadnice), aplikace.

Křivkový integrál: měřitelná křivka v R² a R³, křivkový integrál skalární a vektorové funkce, potenciální vektorové pole, potenciál vektorového pole, nezávislost křivkového integrálu potenciálního pole na cestě.