Funkce dvou proměnných - OPBM3M047A

• Anglický název: Functions of two variables
• Zajišťuje: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Fakulta: Pedagogická fakulta
• Platnost: od 2022
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Způsob provedení zkoušky: letní s.:
• Rozsah, examinace: letní s.:2/1, Zk [HT]
• Rozsah za akademický rok: 0 [hodiny]
• Počet míst: neurčen / neurčen (neurčen)
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Je zajišťováno předmětem: OKBM3M047A
• Poznámka: předmět je možno zapsat mimo plán; povolen pro zápis po webu; při zápisu přednost, je-li ve stud. plánu
• Garant: prof. RNDr. Ladislav Kvasz, DSc., Dr.
• Prerekvizity : OPBM3M032A

Anotace

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

Vektorové prostory, okolí bodu, konvergence, funkce několika proměnných, limity, spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, diferenciál, tečné roviny, normály, implicitně zadaná funkce, křivky, plochy, transformace souřadnic, vícenásobný integrál, substituce, Fubiniova věta, křivkový a plošný integrál, užití.

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

Vector spaces, neighborhood of a point, convergence, functions of several variables, limits, continuity, derivative in direction, partial derivative, differential, tangent planes, normals, implicit function, curves, surfaces, coordinate transformation, multiple integral, substitution, Fubini's theorem, curvilinear and surface integral, use.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

Primárním cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy, vědomostmi a souvislostmi infinitesimálního počtu funkcí dvou proměnných v návaznosti na podobné kurzy o funkcích jedné proměnné. Sekundárním cílem je prověřit, zopakovat a upevnit znalosti z předcházejících kurzů zejména z matematické analýzy ale též geometrie (křivky, plochy) nebo algebry (vektorové prostory, lineární, kvadratické formy).

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

The primary goal of the course is to acquaint students with the basic concepts, knowledge and connections of an infinitesimal number of functions of two variables, following similar courses on functions of one variable. The secondary goal is to check, repeat and consolidate knowledge from previous courses, especially from mathematical analysis, but also geometry (curves, surfaces) or algebra (vector spaces, linear, quadratic forms).

Deskriptory

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (31.01.2023)

přímá výuka - celkem 14 h

přípravy na výuku - celkem 20 h

čtení matematické literatury 36 h 

domácí úkoly - 10 h 

předpokládané celkové časové zatížení studentů - 80 h

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (31.01.2023)

school teaching - a total of 14 h

preparation for school teaching - a total of 20 h

reading mathematical literature 36 h

homework - 10 h

expected total time load of students - 80 h

Literatura

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

základní:

● František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha)

● Zuzana Došlá, Ondřej Došlý: Diferenciální počet více proměnných (přírodovědecká fakulta MU Brno)

● Josef Kalas, Jaromír Kuben: Integrální počet funkcí více proměnných (přírodovědecká fakulta MU Brno)

● Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 

ostatní:

●  Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976 
●  Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) 
● Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) 
● Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) 
● Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) 
● Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) 
● Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) 
● Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha) 

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

basic:

● František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha)

● Zuzana Došlá, Ondřej Došlý: Diferenciální počet více proměnných (přírodovědecká fakulta MU Brno)

● Josef Kalas, Jaromír Kuben: Integrální počet funkcí více proměnných (přírodovědecká fakulta MU Brno)

● Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 

others:

●  Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976 
●  Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) 
● Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) 
● Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) 
● Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) 
● Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) 
● Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) 
● Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha) 

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (13.02.2023)

Zkouška sestává s písemné a ústní části. Písemná část bude zaměřena na početní znalosti studentů a bude obsahovat příklady na počítání derivací ve směru a podle vektoru, diferenciálů, zjišťování extrémů, počítání dvojných a křivkových integrálů. Bude umožněno studentům realizovat písemnou část již v průběhu semestru formou testů.  

Ústní část zkoušky je zaměřena na porozumění probraným pojmům, vztahům a souvislostem a skládá se zpravidla ze tří otázek (první otázka prověřuje nějaký pojem, definici, tvrzení, souvislost, zavedení..., ve druhé otázce má student rozhodnout o platnosti předloženého tvrzení a své rozhodnutí zdůvodnit nebo podepřít protipříkladem, třetí otázka se týká nějakého odvození, důkazu, řešení problému a podobně).

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (13.02.2023)

The exam consists of written and oral parts. The written part will be focused on students' numerical knowledge and will contain examples for calculating derivatives in the direction and by the vector, differentials, finding extrema, calculating double and curve integrals. It will be possible for students to complete the written part already during the semester in the form of tests. The oral part of the exam is aimed at understanding the discussed concepts, relationships and contexts and usually consists of three questions (the first question examines a concept, definition, statement, context, introduction..., in the second question the student has to decide on the validity of the presented statement and his justify or support a decision with a counterexample, the third question refers to some kind of inference, proof, problem solving, etc.).

Sylabus

čeština

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

Úvodní část 

• opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce

• konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.

Diferenciální počet 

• reálné funkce dvou proměnných (R²->R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost

• derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Fréchetova derivace), vzájemné vztahy, gradient - geometrický význam

• derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta

• extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)

• hledání tečných rovin, tečen ve směru, derivace implicitně zadaných funcí

• transformace souřadnic - polární, (cylindrické), sférické

Integrální počet 

• vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubiniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu

• křivky v R² (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta

• plochy v R³, divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.

angličtina

Poslední úprava: RNDr. František Mošna, Ph.D. (30.01.2023)

Introductory part

• repetition - linear vector spaces, scalar, vector and external product (geometric meaning, determinants), lines - equations, parametrization according to distance, planes, functions

• convergence, neighborhood, distance of points (metric, norm - Euclidean, summation, maximum), points - interior, exterior, boundary, limit, isolated, sets - open, closed, bounded, convex, continuous, compact, area.

Differential calculus

• real function of two variables (R²->R), domain, contours, sections, limit (on a set, on a domain), continuity

• derivative in direction (Gâte's differential and derivative), partial derivative, total differential (Fréchet's derivative), mutual relations, gradient - geometric meaning

• derivatives of higher orders (interchangeability of mixed second derivatives), second differential, Taylor's theorem

• extrema - local, absolute, bound extremes (substitution method and Lagrange multipliers)

• search for tangent planes, tangents in direction, derivatives of implicitly specified functions

• coordinate transformation - polar, (cylindrical), spherical

Integral calculus

• multiple (double, triple) integral, calculation of content (circle), volume (sphere, cone), center of gravity (triangle, tetrahedron), moments, Fubini's theorem, substitution theorem - connection between determinant and volume, content

• curves in R² (explicit, implicit, parametric expression), tangent, normal, length of curve (circle), divergence, (3rd component of rotation), curve integral, Green's theorem

• surfaces in R³, divergence, rotation, surface integral, Stokes, Gauss-Ostrogradsky theorem.