|
|
|
||
|
Poslední úprava: ()
|
|
||
|
Poslední úprava: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)
Arnold V.:Ordinary Differential Equations,Springer Verlag,New York,l992
Bullirsch R. and Stoer J.:Introduction to Numerical Analysis,Springer Verlag,l98l
John F.:Partial Differential Equations,Applied Mathematical Sciences l, Springer Verlag,New York,l982
Marčuk C.I.:Metody numerické matematiky,Academia Praha l987 parciálních diferenciálních rovnic:charakteristické variety,klasifikace rovnic prvního řádu věta Cauchy-Kowalevské.
Arnold V.:Ordinary Differential Equations,Springer Verlag,New York,l992
Bullirsch R. and Stoer J.:Introduction to Numerical Analysis,Springer Verlag,l98l
John F.:Partial Differential Equations,Applied Mathematical Sciences l, Springer Verlag,New York,l982
Marčuk C.I.:Metody numerické matematiky,Academia Praha l987 |
|
||
|
Poslední úprava: ()
Obyčejné diferenciální rovnice.
Příklady evolučních procesů, biologie,ekologie (lineární reprodukce,explosivní růst,systém dravec-kořist,logistický růst, epidemické modely),fyzika (volný pád, lineární/nelineární kyvadlo,elektrické kmity).
Základní pojmy a geometrické představy:soustava obyčejných diferenciálních rovnic,počáteční úloha,integrální křivka,fázová křivka,fázový prostor,vektorové pole,dynamický systém ,tok vektorového pole,fázový portrét,pevný bod vektorového pole.
Vektorové pole v R1 : existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy explicitní řešení separací proměnných,variace konstant.
Vektorové pole v Rn : Věta o narovnání vektorového pole (bez důkazu),aplikace (lokální existence a jednoznačnost řešení,závislost řešení na počáteční podmínce úlohy,závislost řešení na parametrech vektorového pole, prodlužitelnost řešení do hranice kompaktní množiny.
Soustavy lineárních rovnic.
Exponenciela matice resp. maticová exponenciální funkce jako fundamentální řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty určenými touto maticí, determinant a stopa exponenciely (geometrická interpretace). Liouvillova formule, komplexní a reálný Jordanův tvar čtvercové matice, konstrukce maticové exponenciální funkce, topologická klasifikace pevných bodů lineárního vektorového pole,stabilita. Neautonomní soustavy lineárních rovnic, soustavy s periodickými koeficienty, matice monodromie. Nehomogenní rovnice (variace konstant).
Numerické řešení počátečních úloh:.
Runge-Kuttova metoda.
Obecná jednokroková metoda, diskretisační chyba, analýza globální chyby, vliv strojové přesnosti, adaptivní časový krok (Fehlenbergova metoda). Metody:Adams-Bashfort, Adams-Moulton, Nyström, prediktor-korektor. Lineární vícekrokové metody:konzistence, stabilita, konvergence. Richardsonova extrapolace:.
Bullirsch-Störova metoda.
Parciální diferenciální rovnice.
Okrajové úlohy pro Laplaceovu rovnici:příklady aplikací,pojem slabého řešení. Dirichletův integrál, Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu, Sobolevův prostor, apriorní odhady, idea metody konečných prvků, metody konečných diferencí a metody konečných objemů, Fourierova metoda.
Stacionární problémy matematické fyziky . Funkcionálně analytická formulace okrajových úloh, slabé řešení, příklady (úlohy lineární pružnosti,difusní rovnice,atd.), elipticita, monotonie, numerické řešení (konečné prvky,diference a konečné objemy).
Cauchyova úloha pro rovnici struny: vlnové řešení. Smíšená úloha pro rovnici struny: odraz vln, integrál energie, apriorní odhad řešení, časová a prostorová diskretizace.
Smíšená úloha pro rovnici vedení tepla:Fourierova metoda ( asymptotické vlastnosti řešení),slabá formulace, apriorní odhad řešení. Časová a prostorová diskretizace.
Evoluční problémy matematické fyziky (přehled):příklady modely proudění, Schrodingerova rovnice,modely chemické kinetiky,atd.), slabá formulace, monotonie, disipativita, asymptotické chování.
Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic:charakteristické variety,klasifikace rovnic prvního řádu věta Cauchy-Kowalevské. |