PředmětyPředměty(verze: 964)
Předmět, akademický rok 2024/2025
   Přihlásit přes CAS
Algebra - NMTM501
Anglický název: Algebra
Zajišťuje: Katedra didaktiky matematiky (32-KDM)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2021
Semestr: zimní
E-Kredity: 2
Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
4EU+: ne
Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D.
Vyučující: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D.
Neslučitelnost : NMUM501
Záměnnost : NMUM501
Je neslučitelnost pro: NMUM501
Je záměnnost pro: NMUM501
Anotace
Kurzovní přednáška z algebry pro navazující magisterské učitelské studium (polynomy a jejich kořeny, Lagrangeova postupná symetrizace; přechod v algebře od hledání kořenů polynomů ke zkoumání struktur). Propojení algebraických témat se školskou matematikou (diskriminant, Vietovy věty, zavedení komplexních čísel, různé způsoby řešení kvadratické rovnice).
Poslední úprava: Robová Jarmila, doc. RNDr., CSc. (04.06.2020)
Podmínky zakončení předmětu -

Úspěšné napsání závěrečného testu (120 minutes).

Je nutno prokázat dobrou znalost každého z odpřednášených témat.

Poslední úprava: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (29.10.2019)
Literatura -

Povinná literatura:

Dlab V., Bečvář J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.

Doporučená literatura:

Bewersdorff J.: Galois Theory for Beginners; A Historical Perspective. Student Mathematical Library (Book 35), AMS, 2006. 180 stran.

Tignol J.-P.: Galois' Theory of Algebraic Equations. World Scientific Publishing, Singapore, 2001.

Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I, II. SPN, Praha, 1983, 1984.

Stanovský D.: Základy algebry. Matfyzpress, Praha, 2010.

Poslední úprava: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (02.01.2023)
Sylabus -
Polynomy a jejich kořeny:
Polynom a polynomiální funkce, porovnání a aplikace ve školské matematice.

Tzv. základní věta algebry a její důsledky. Z_p nejsou algebraicky uzavřená - protipříklady.

Eliminace násobnosti kořenů, derivace polynomu.

Hranice rozložení kořenů polynomů. Hornerovo schéma. Lagrangeova interpolace.

Prolegomena ke Galoisově teorii:
Řešení kvadratické a kubické rovnice různými postupy, porovnání postupů použitelných ve školské matematice. Vietovy věty.

Lagrangeova postupná symetrizace (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací).

Algebraické rozšíření pole (kořenové a rozkladové pole), stupeň rozšíření, jednoduché příklady. jednoduché příklady Galoisových korespondencí.

Řešitelnost algebraické rovnice v radikálech - znění základní věty. Důkaz, že A_5 je jednoduchá.

Konstruovatelnost pravítkem a kružítkem:
Eukleidovsky konstruovatelné body a čísla. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu.

Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.

Symetrické polynomy:
Jednoduché a elementární symetrické polynomy, hlavní věta o symetrických polynomech.

Diskriminant, motivace, obecná definice, výpočet pomocí determinantu, souvislosti se školskou matematikou.

Grupy a pole - základní přehled:
Základní vlastnosti grup: grupy jednoduché, cyklické, abelovské - jednoduché příklady a souvislosti, znění věty Cauchyovy a první Sylowovy.

Prvopole, struktura konečných polí.

Zavedení komplexních čísel ve školské matematice, souvislost s Kroneckerovou větou.

Poslední úprava: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (03.01.2023)
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK