Předmět obsahuje další partie lineární algebry v návaznosti na předmět Lineární algebra I (determinanty,
podobnost matic, lineární formy, bilineární a kvadratické formy, prostory se skalárním součinem). Teoretická látka
podaná v přednáškách je v praktické podobě upevňována ve cvičeních.
Poslední úprava: Staněk Jakub, RNDr., Ph.D. (25.01.2018)
Other parts of linear algebra following the subject Linear algebra II (determinants, similarity, linear forms, bilinear
and quadratic forms, unitary spaces).
Poslední úprava: Staněk Jakub, RNDr., Ph.D. (14.06.2019)
Podmínky zakončení předmětu -
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Nutnou podmínkou pro udělení zápočtu je úspěšné absolvování jednoho testu. Jeho termín bude oznámen alespoň týden dopředu.
Další podmínkou pro udělení zápočtu je aktivní účast na cvičeních (max. tři absence).
Další případné informace ke cvičení jsou k dispozici na stránce:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stepanov/
Další informace jsou na stránce
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~becvar/
Další případné informace ke cvičení/zápočtům -- viz stránka:
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
Credit is a necessary and sufficient condition for taking the exam.
Credit exams practical knowledge and skills (numerical procedures, derivation, proving).
A prerequisite for obtaining credit is passing a written test (one regular and two correction terms), which will be written at the end of the semester (one regular and two correction terms).
Another condition for granting the credit is participation in exercises (max. three absences).
More information about credits is available at:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stepanov/
More information is on the page
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~becvar/
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
Literatura -
Povinná:
J. Bečvář: Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2010.
Doporučená:
J. Bečvář: Vektorové prostory III, sbírka úloh, SPN, Praha, 1982.
R. A. Horn, Ch. R. Johnson: Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
S. Lang: Linear Algebra, Springer, New York, 2013.
I. Satake: Linear Algebra, Dekker, New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 2015.
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
S. Lang: Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company-Reading, 1966.
I. Satake: Linear Algebra, Marcel Dekker, Inc., New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 1996.
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
Požadavky ke zkoušce -
Zkouška prověřuje teoretické znalosti, tj. porozumění pojmům (definice), porozumění poznatkům (věty), porozumění matematickému odvozování a zdůvodňování (důkazy), formulační dovednosti (vyjadřování slovem a písmem s využitím matematické symboliky).
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Struktura zkoušky (pět otázek): 1. definice a příklady definovaného pojmu (2 body), 2. definice a příklady definovaného pojmu (3 body), 3. znění věty (2 body), 4. jednoduchý důkaz dané věty (3 body), 5. obtížnější důkaz dané věty (5 bodů).
Zkouška je písemná, je na ni dáno 60 minut, z celkového počtu 15 bodů je třeba získat alespoň 9 bodů.
Známka je dána počtem získaných bodů u zkoušky: 9 až 11 – dobře, 12 až 13 – velmi dobře, 14 až 15 – výborně.
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
The exam verifies theoretical knowledge (definitions, theorems), understanding mathematical derivation and proofs, formulation skills (using mathematical symbolism).
Credit is a necessary condition for taking the exam.
The structure of the exam (five questions):
1. definition and examples of defined term (2 points),
2. definitions and examples of defined term (3 points),
3. theorem (2 points),
4. simple proof of the given sentence (3 points) ,
5. more difficult proof of the sentence (5 points).
The exam is written (approximaly 60 minutes), it is necessary to obtain at least 9 points (out of maximum 15 points).
The grade is determined by the points obtained for examination: 9-11 (Good), 12-13 (Very Good), 14-15 (Excellent).
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
Sylabus -
Determinanty. Základní vlastnosti, determinant blokové matice, rozvoj determinantu, věta o násobení determinantů, adjungovaná matice, inverzní matice, Cramerovo pravidlo, vyjádření hodnosti matice pomocí determinantů; metody výpočtu determinantů; příklady.
Podobnost matic. Charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory, minimální polynom, Cayleyova-Hamiltonova věta, podobnost matic, Jordanova buňka a Jordanova matice, diagonalizovatelnost, existence Jordanova kanonického tvaru a metody jeho nalezení, vlastní čísla reálné symetrické matice; příklady.
Bilineární formy. Matice a analytické vyjádření bilineární formy, vrcholy forem, symetrické a antisymetrické formy, polární báze, kvadratické formy, formy na reálných prostorech, normální báze a normální tvar, zákon setrvačnosti, signatura, klasifikace forem; příklady.
Prostory se skalárním součinem. Skalární součin, norma, Cauchyova-Schwarzova a trojúhelníková nerovnost, ortogonální a ortonormální báze, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální transformace, ortogonální matice; příklady.
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
Determinants. Basic properties, determinant of a block matrix, the expansion of a determinant under a row and a column, the theorem on multiplication of determinants, adjugate matrix, inverse matrix, Cramer´s rule, rank of a matrix, calculation of determinants; examples.
Similarity, characteristic polynomial of a matrix, eigenvalues and eigenvectors, minimal polynomial of a matrix, Cayley-Hamilton theorem, similarity of matrices, simple Jordan matrix, Jordan matrix, the existence of the Jordan canonical form and the methods of evaluation, eigenvalues of symmetric matrix; examples.
Linear forms and dual space. Matrix and analytical expression of a linear form, dual space, dual basis; examples.
Bilinear forms. Matrix and analytical expression of a bilinear form, vertices, symmetric and antisymmetric forms, polar basis, quadratic forms, bilinear and quadratic form on real spaces, normal basis and normal expression, the law of inertia, signature, classification of forms; examples.
Poslední úprava: Škorpilová Martina, RNDr., Ph.D. (16.02.2024)
