PředmětyPředměty(verze: 916)
Předmět, akademický rok 2022/2023
   Přihlásit přes CAS
Eliptické křivky a kryptografie - NMMB538
Anglický název: Elliptic Curves and Cryptography
Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2020
Semestr: zimní
E-Kredity: 6
Rozsah, examinace: zimní s.:3/1, Z+Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
Třída: M Mgr. MMIB
M Mgr. MMIB > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Neslučitelnost : NMIB015
Prerekvizity : NMAG436
Záměnnost : NMIB015
Je záměnnost pro: NMIB015
Anotace -
Poslední úprava: T_KA (14.05.2013)
Přednáška seznamuje s aritmetikou eliptických křivek, s jejich implementací a s konkrétními algoritmy a kryptosystémy založených na eliptických křivkách. Předpokládá se, že je student obeznámen se základními koncepty algebraické geometrie (v rozsahu přednášky NMIB013 Algebraická geometrie v kladné charakteristice)
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Udělení zápočtu je nezávislé na složení zkoušky. Zápočet se uděluje za aktivitu během cvičení provázenou vypracováním určitého množství domácích úkolů. Pokud nebude druhý parametr naplněn, je možné zápočet získat vypracováním dodatečných úkolů. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.

Pokud distanční výuka bude trvat po většinu semestru, je udělení zápočtu vázáno na splnění domácích úloh.

Literatura
Poslední úprava: T_KA (14.05.2013)

Silverman: The arithmetic of elliptic curves, Springer Verlag 1986;

Blake, Seroussi, Smart: Elliptic curves in cryptography, Cambridge Univ. Press 1999;

Cremona: Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge Univ. Press 1992.

Metody výuky
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Distanční výuka probíhá formou zasílání jednotlivých kapitol přednášky a současně návazných domácích úkolů, které musí být průběžně vypracovány. Předpokládá se aktivita studentů v případě, že některá část textu nebo úkolu nebude srozumitelná nebo bude vyžadovat výpomoc vyučujícího. Ta je možná formou osobní konzultace, emailové konzultace nebo internetové konzultace v reálném čase.

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemná část má charakter vyřešení jednoduchých příkladů generického typu, přesné formulace hlavních tvrzení a důkazu vybraných tvrzení. Výsledek písemné části je se studentem prodiskutován. Může být vyzván k opravě některých částí písemné zkoušky. Pokud ani po takové opravě není výsledek dostačující, je zkouška ukončena. Ústní část má zpravidla charakter doplnění nebo rozvinutí některého z témat písemné zkoušky formou dialogu s přednášejícím.

Pokud distanční výuka potrvá po většinu semestru, tak bude písemná část nahrazena rozsáhlou zkouškovou úlohou, která komplexně prověří zvládnutí látky a bude diskutována během zkoušky. Jako zásadní je považována znalost fundamentální rovnosti, struktury

Galoisových a ryze neseparabilních rozšíření algebraických funkčních těles, komutování normy a hlavních divisorů, využití téhož pro izogenie eliptických křivek, odvození a vlastností j-invariantu, duálních izogenií, struktury konečných podgrup grupy eliptické křivky a vlastností Weilova párování. Důkazy u posledních třech témat budou požadovány jen v omezeném rozsahu, podle vývoje přednášky. To bude na závěr přednášky upřesněno.

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (19.10.2020)

Projektivní křivky a jejich funkční tělesa.

Racionální zobrazení a morfismy křivek.

Rozšíření algebraických funkčních těles a jejich využití. (Rozšiřování základního tělesa, vlastnosti racionálních zobrazení.)

Norma a konorma.

Izogenie eliptických křivek.

Popis izogenií pomocí separability a Frobeniova endomorfismu.

Struktura konečných podgrup grupy eliptické křivky.

Weilovo párování.

Edwardsovy křivky a jejich význam pro kryptografii.

Vstupní požadavky
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (11.06.2019)

Znalosti na úrovni přednášky NMAG436 Křivky a funkční tělesa.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK