PředmětyPředměty(verze: 845)
Předmět, akademický rok 2018/2019
   Přihlásit přes CAS
Křivky a funkční tělesa - NMAG436
Anglický název: Curves and Function Fields
Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017 do 2018
Semestr: letní
E-Kredity: 6
Rozsah, examinace: letní s.:4/0 Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
Třída: M Mgr. MMIB
M Mgr. MMIB > Povinně volitelné
M Mgr. MSTR
M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Neslučitelnost : NMIB013
Záměnnost : NMIB013
Anotace -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (13.09.2013)
Přednáška buduje základní pojmový aparát oboru a rozvíjí teorii křivek, jak obecně, tak speciálně nad konečnými tělesy.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc. (21.02.2018)

Zkouška je založena na písemném vypracování čtyř úloh, který mají dílem charakter řešení přímočarých příkladů, které jsou vybrány tak, aby jejich řešením student doložil osvojení si látky, dílem charakter vypracování důkazů klíčových tvrzení předmětu. Písemné vypracování úloh je vstupem do ústní části zkoušky. Pokud je neuspokojivé, je zkouška hodnocena stupněm nevyhověl-a. Pokud je řešení alespoň dílčím způosobem přijatelné, avšak není bezchybné, dostane student možnost některé části řešení buď dopracovat na základě doplňujících podnětů a informací, nebo dovysětlit. V případě, že i po těchto úkonech zůstanou pochybnosti o hodnocení, může být položena jedna či dvě doplňující otázky.

Literatura -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (06.09.2013)

H. Stichtenoth: Algebraic function fields and codes Graduate texts in mathematics – Svazek 254, Springer, 2009

R. Hartshorne, Algebraic geometry Graduate Texts in Mathematics – Svazek 52, Springer 1977

Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)

1. Připomínka některých algebraických pojmů a výsledků (prvoideály, algebraické

prvky, Gaussovy obory, ireducibilní prvky v R[x], kde R je Gaussův, noetherovské

okruhy).

2. Maximální ideály v K[x_1,\dots,x_n] pro K komutativní těleso (ne nutně

algebraicky uzavřené). Jejich popis jako prvoideálů s nenulovým průnikem s každým

K[x_i]. Výklad, že pro n = 2 lze popis získat pomocí existence největších společných

dělitelů v okruhu K(x)[y].

3. Struktura prvoideálů v K[x_1,x_2]. Planární afinní křivky a jejich ireducibilita.

Souřadnicový okruh.

4. Afinní automorfismy K[x_1,...,x_n] a práce s nimi. Chování tečen při jejich

aplikaci. Automorfismy K[x_1,x_2] indukují izomorfismy souřadnicových okruhů.

5. Funkční těleso křivky a algebraické funkční těleso. Zadání algebraického

funkčního tělesa rovnicí. Použití afinních automorfismů pro nalezení jiných zadání

téhož algebraického funkčního tělesa. Charakteristika algebraických prvků v

algebraických funkčních tělesech (těleso konstant).

6. Diskrétní valuační obory a jejich ekvivalentní popisy. Existence valuačních oborů

v tělesech. Jejich diskrétnost v algebraických funkčních tělesech. Valuace K(x).

Pojem místa. Konečnost stupně místa.

7. Hladkost křivky. V hladkém K-racionálním bodě křivky je maximální ideál lokálního

okruhu místem funkčního tělesa stupně jedna (konstruktivní důkaz založený na

vlastnostech polynomů).

8. Weierstrassova rovnice. Jejich ekvivalence nad K. Krátké formy (ve všech

charakteristikách). Izomorfismus s K(x) v případě singulárních rovnic.

9. Pojem divisoru a s ním asociovaného lineárního prostoru (zvaného též

Riemann-Rochův). Hlavní divisor prvku. Stupeň kladné i záporné části hlavního

divisoru transcendentního prvku x z algebraického funkčního tělesa F/K je roven

[F:K(x)]. Riemannova věta a rod. Třídová (Picardova) grupa.

10. Adèle a jejich prostor. Kodimenze prostoru adèle daného divisoru a index

specializace. Slabá a silná aproximační věta. Weilův diferenciál. Riemann-Rochova

věta.

11. Eliptické funkční tělesa. Každé z nich indukuje Weierstrassovu rovnici.

Weierstrassova rovnice popisuje eliptické funkční těleso právě když je nesingulární.

Místa stupně jedna v eliptickém funkčním tělese jsou v jednoznačném vztahu s prvky

Picardovy grupy i s K-racionálními body. To umožňuje přenést strukturu grupy na body

křivky, a tím popsat sčítání na Weierstrassově křivce jako sečno-tečný proces.

12. Diskriminant a j-invariant Weierstrassovy křivky (rovnice). Smyklé (twisted)

křivky.

13. Planární projektivní křivky. Funkční těleso homogenních polynomů ireducibilní

projektivní planární křivky. Místa stupně jedna nesingulární projektivní

ireducibilní planární křivky jsou v jednoznačném vztahu s K-racionálními body této

křivky.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK