PředmětyPředměty(verze: 901)
Předmět, akademický rok 2021/2022
  
Obyčejné diferenciální rovnice 2 - NMMA407
Anglický název: Ordinary Differential Equations 2
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2021 do 2021
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: angličtina, čeština
Způsob výuky: prezenční
Další informace: https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/Odr2/
Garant: doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Diferenciální rovnice, teorie potenciálu
Neslučitelnost : NDIR021
Záměnnost : NDIR021
Je záměnnost pro: NDIR021
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)
Povinný předmět pro magisterský obor Matematická analýza. Doporučený pro první ročník magisterského studia. Věnuje se pokročilým partiím teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Stručný obsah: dynamické systémy; Poincaré-Bendixsonova teorie; Carathéodoryho teorie; optimální řízení, Pontrjaginův princip maxima; bifurkace; stabilní, nestabilní a centrální variety.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. (21.10.2020)

Zápočet se uděluje za aktivní účast na cvičení (online prezentace úloh, průběžně odevzdávané domácí úkoly).

Zápočet je nutnou podmínkou ke skládání zkoušky a jeho charakter neumožňuje opakování.

Zkouška se skládá z písemné početní části (tři úlohy, limit cca 2 hodiny) a teoretické ústní (online) části.

V každé části je třeba získat alespoň polovinu možných bodů.

Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (10.05.2013)

J. Kurzweil: Obycejné diferenciální rovnice, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, 1978.

I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.

H. Amann: Ordinary differential equations, an introduction to nonlinear analysis, de Gruyter Studies in Mathematics 13, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1990.

J. Hale, H. Kocak: Dynamics and Bifurcations. Texts in Applied Mathematics 3, Springer, New York, 1991.

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. (21.10.2020)

Zkouška bude prověřovat znalosti látky v rozsahu předneseném během semestru.

Sylabus -
Poslední úprava: T_KMA (16.09.2013)

1. Dynamický systém. Orbit, stacionární bod, invariantní množina. Alfa- a omega-limitní množina a její vlastnosti. La Salleho princip invariance. Konjugované dynamické systémy. Lemma o rektifikaci. Poincaré-Bendixsonova teorie v rovině. Bendixson-Dulacovo kritérium neexistence periodických řešení.

2. Carathéodoryho teorie - pojem absolutně spojitých řešení, jejich lokální existence a jednoznačnost.

3. Optimální řízení. Kalmanova matice, regulovatelnost a pozorovatelnost lineárních úloh. Lokální regulovatelnost nelineárních úloh. Stabilizovatelnost. Časově optimální regulace. Pontrjaginův princip maxima. Regulace typu "bang-gang". Obecná verze principu maxima.

4. Bifurkace. Základní typy bifurkací: sedlo-uzel, transkritická, vidličková. Postačující podmínky existence bifurkací. Hopfova bifurkace: věta o existenci a stabilitě (bez důkazu).

5. Stabilní, nestabilní a centrální variety. Princip invariance a jeho ekvivalentní vyjádření. Existence centrální variety. Aproximace centrální variety. Princip redukované stability. Hartman-Grobmanova věta (bez důkazu).

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Dalibor Pražák, Ph.D. (08.05.2018)

Teorie obyčejných diferenciálních rovnic na úrovni předmětu ODR (NMMA333).

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK