Reálné funkce 1 - NMMA403

• Anglický název: Theory of Real Functions 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : NRFA014
• Záměnnost : NRFA014
• Je záměnnost pro: NRFA014

Anotace

čeština

Povinný předmět pro magisterský obor Matematická analýza. Doporučený pro první ročník magisterského studia. Stručný obsah: derivování měr, absolutně spojité funkce, funkce s konečnou variací, lipschitzovské funkce, Hausdorffova míra a dimenze.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

angličtina

Mandatory course for the master study branch Mathematical analysis. Recommended for the first year of master studies. Content: differentiation of measures, absolutely continuous functions, fuctions of bounded variation, Lipschitz function, Hausdorff measure and dimension.

Poslední úprava: T_KMA (10.05.2013)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce nebo specifikován v domácí četbě.

V případě nutnosti distanční zkoušky tato bude spočívat v zodpovězení dvou otázek v reálném čase přes zoom. Otázky budou zaslány před konáním

zkoušek v okamžiku, kdy bude zřejmý rozsah, ve kterém bude přednáška přednesena či jinak distančně realizována.

Poslední úprava: Holický Petr, doc. RNDr., CSc. (23.09.2020)

angličtina

The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

Literatura

čeština

L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton, 1992.

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 2003.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

angličtina

L.C. Evans, R.F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton, 1992.

W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce nebo specifikován v domácí četbě.

V případě nutnosti distanční zkoušky tato bude spočívat v zodpovězení dvou otázek v reálném čase přes zoom. Otázky budou zaslány před konáním

zkoušek v okamžiku, kdy bude zřejmý rozsah, ve kterém bude přednáška přednesena či jinak distančně realizována.

Poslední úprava: Holický Petr, doc. RNDr., CSc. (23.09.2020)

angličtina

The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent.

Poslední úprava: Malý Jan, prof. RNDr., DrSc. (29.10.2019)

Sylabus

čeština

1. Derivování měr

• pokrývací věty (Vitaliova a Bezikovičova, případně Whitneyova)

• maximální operátor

• aplikace na absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací

• vzájemná derivace dvou Radonových měr

• lebesgueovské body lokálně integrovatelných funkcí

• Rademacherova věta, vztah lipschitzovských funkcí a $W^{1,\infty}$

2. Hausdorffova míra a dimenze

• vnější Hausdorffova míra

• Hausdorffova míra

• Hausdorffova dimenze

• souvislost s Lebesgueovou mírou

• area formule (bez důkazu)

Poslední úprava: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2022)

angličtina

1. Differentiation of measures

• covering theorems (Vitali, Besikovich, perhaps also Whitney)

• maximal operator

• application to absolutely continuous functions and to functions of bounded variation

• mutual differentiation of two Radon measures

• Lebesgue points of locally integrable functions

• Rademacher theorem, relationship of Lipschitz functions and W^{1,\infty}

2. Hausdorff measure and dimension

• outer Hausdorff measure

• Hausdorff measure

• Hausdorff dimension

• connections to Lebesgue measure

• area formula (without a proof)

Poslední úprava: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (21.09.2022)

Vstupní požadavky

čeština

Diferenciální počet více proměnných, základy teorie metrických prostorů, teorie míry a Lebesgueova integrálu (v rozsahu přednášky NMMA203).

Poslední úprava: Zajíček Luděk, prof. RNDr., DrSc. (08.05.2018)

angličtina

Differential calculus of several variables, basic theory of metric spaces, theory of measure and Lebesgue integral (as covered by lecture NMMA203).

Poslední úprava: Zajíček Luděk, prof. RNDr., DrSc. (08.05.2018)