Funkcionální analýza 1 - NMMA401

• Anglický název: Functional Analysis 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024 do 2024
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Michal Johanis, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné; M Mgr. MOD; M Mgr. MOD > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
• Je záměnnost pro: NRFA050, NRFA051

Anotace

čeština

Povinný předmět magisterských programů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - lokálně konvexní prostory a slabé topologie, teorie distribucí, vektorová integrace, kompaktní konvexní množiny.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

angličtina

Mandatory course for master study programmes Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended for the first year of master studies. The course is devoted to advanced topics in functional analysis - locally convex spaces and weak topologies, theory of distributions, vector integration, compact convex sets.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (12.05.2022)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Pravidla pro akademický rok 2023/2024:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení dvou domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého příkladu na cvičení.

V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.

Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení budou upřesněny na webu přednášejícího.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (07.09.2023)

angličtina

The rules for 2023/2024:

The course is finished by a credit and an exam.Before passing the exam it is necessary to gain the credit.

The credit will be awarded after complete and correct solution of two homeworks and presenting a correct solution of one problem during the classes.

If the submitted solution of a homework is not complete and correct, a correction should be provided. The number of iterations is not a priori limited.

Detailed rules will be specified at the webpage of the lecturer.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (07.09.2023)

Literatura

čeština

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 6-7)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (15.09.2023)

angličtina

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (chapters 1-3 and 6-7)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (chapter 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (sections III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (sections 2.3 and 3.3)

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (15.09.2023)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Poslední úprava: Cúth Marek, doc. Mgr., Ph.D. (29.09.2022)

angličtina

The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam.

Poslední úprava: Cúth Marek, doc. Mgr., Ph.D. (29.09.2022)

Sylabus

čeština

1. Lokálně konvexní prostory

Definice topologického vektorového prostoru a lokálně konvexního prostoru

Minkowského funkcionál, pseudonormy, generování lokálně konvexní topologie pomocí pseudonorem

Omezenost v lokálně konvexním prostoru

Metrizovatelnost a normovatelnost lokálně konvexních prostorů

Spojitá lineární zobrazení mezi lokálně konvexními prostory, funkcionály

Hahn-Banachova věta - rozšiřování a oddělování

Fréchetovy prostory

Slabé topologie - topologie generovaná podprostorem algebraického duálu, slabá a slabá* topologie, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivita a slabá kompaktnost, věta o bipoláře

2. Základy teorie distribucí

Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm

Distribuce - definice, příklady, operace, charakterizace

řád distribuce, konvergence distribucí

konvoluce distribuce a testovací funkce, aproximativní jednotka

konvoluce dvou distribucí - příklady, že to někdy funguje

Schwarzův prostor jako Fréchetův prostor

Temperované distribuce a jejich charakterizace

Fourierova transformace temperovaných distribucí

konvoluce temperovaných distribucí

případně nosič distribuce

3. Základy vektorové integrace

Měřitelnost vektorových funkcí, Pettisova věta

Slabá integrovatelnost, Dunfordův a Pettisův integrál

Bochnerův integrál

Bochnerovy prostory

Dualita Bochnerových prostorů - informativně, bez důkazu

4. Konvexní kompaktní množiny

Extremální body

Krein-Milmanova věta

věta o integrální reprezentaci

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

angličtina

1. Locally convex spaces

Definitions of a topological vector spaces and of a locally convex space

Minkowski functionals, seminorms, generating locally convex topologies using seminorms

Boundedness in a locally convex space

Metrizability and normability of locally convex spaces

Continuous linear mappings between locally convex spaces, linear functionals

Hahn-Banach theorem - extending and separating

Fréchet spaces

Weak topologies - topology generated by a subspace of the algebraic dual, weak and weak* topologies, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivity and weak compactness, bipolar theorem

2. Elements of the theory of distributions

Space of test functions and the convergence in it

Distributions - definition, examples, operations, characterizations

order of a distribution, convergence of distributions

convolution of a distribution and a test function, approximate unit

convolution of two distributions - examples that it sometimes works

Schwarz space as a Fréchet space

Tempered distributions and their characterizations

Fouriera transform of tempered distributions

convolution of tempered distributions

possibuly the support of a distribution

3. Elements of vector integration

Measurability of vector-valued functions, Pettis theorem

Weak integrability, Dunford and Pettis integrals

Bochner integral

Bochner spaces

Duality of Bochner spaces (briefly, no proofs)

4. Convex compact sets

Extreme points

Krein-Milman theorem

integral representation theorem

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

Vstupní požadavky

čeština

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (01.09.2021)

angličtina

Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. It is required to know notions, methods and results from the course Introduction to Functional Analysis NMMA331. Knowledge of basic concepts of general topology (topological spaces, continuous mappings, compactness) is recommended.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (01.09.2021)