Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterských programů Matematická analýza a
Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník
magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální
analýzy - lokálně konvexní prostory a slabé topologie, teorie distribucí,
vektorová integrace, kompaktní konvexní množiny.
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Mandatory course for master study programmes Mathematical
analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended
for the first year of master studies. The course is devoted to advanced
topics in functional analysis - locally convex spaces and weak topologies,
theory of distributions, vector integration, compact convex sets.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
Pravidla pro akademický rok 2022/2023:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.
Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení jedné úlohy a její následné předvedení na cvičení u tabule. Seznam vhodných úloh k vyřešení je na webu přednášejícího (vždy tři úlohy na následující týden). Úlohy je možné rezervovat buď mailem, nebo osobně.
Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
The rules for 2022/2023:
The course is finished by a credit and an exam.
The credit will be awarded after complete and correct solution of one exercise, which is then presented by the student during an exercise lesson. Suitable exercises will be on the webpage of the lecturer (3 possible exercises for each week, available at least one week in advance). Booking the exercise is possible either personally, or by an email to cuth@....
Before passing the exam it is necessary to gain the credit.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 10-12)
M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)
J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)
R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (kapitoly 17 a 18)
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (chapters 1-3 and 10-12)
M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (chapter 3)
J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (sections III.1-III.3)
R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (sections 2.3 and 3.3)
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (chapters 17 and 18)
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Lokálně konvexní prostory
Definice topologického vektorového prostoru a lokálně konvexního prostoru
Minkowského funkcionál, pseudonormy, generování lokálně konvexní topologie pomocí pseudonorem
Omezenost v lokálně konvexním prostoru
Metrizovatelnost a normovatelnost lokálně konvexních prostorů
Spojitá lineární zobrazení mezi lokálně konvexními prostory, funkcionály
Hahn-Banachova věta - rozšiřování a oddělování
Fréchetovy prostory
Slabé topologie - topologie generovaná podprostorem algebraického duálu, slabá a slabá* topologie, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivita a slabá kompaktnost, věta o bipoláře
konvoluce distribuce a testovací funkce, aproximativní jednotka
konvoluce dvou distribucí - příklady, že to někdy funguje
Schwarzův prostor jako Fréchetův prostor
Temperované distribuce a jejich charakterizace
Fourierova transformace temperovaných distribucí
konvoluce temperovaných distribucí
případně nosič distribuce
3. Základy vektorové integrace
Měřitelnost vektorových funkcí, Pettisova věta
Slabá integrovatelnost, Dunfordův a Pettisův integrál
Bochnerův integrál
Bochnerovy prostory
Dualita Bochnerových prostorů - informativně, bez důkazu
4. Konvexní kompaktní množiny
Extremální body
Krein-Milmanova věta
věta o integrální reprezentaci
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Locally convex spaces
Definitions of a topological vector spaces and of a locally convex space
Minkowski functionals, seminorms, generating locally convex topologies using seminorms
Boundedness in a locally convex space
Metrizability and normability of locally convex spaces
Continuous linear mappings between locally convex spaces, linear functionals
Hahn-Banach theorem - extending and separating
Fréchet spaces
Weak topologies - topology generated by a subspace of the algebraic dual, weak and weak* topologies, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivity and weak compactness, bipolar theorem
order of a distribution, convergence of distributions
convolution of a distribution and a test function, approximate unit
convolution of two distributions - examples that it sometimes works
Schwarz space as a Fréchet space
Tempered distributions and their characterizations
Fouriera transform of tempered distributions
convolution of tempered distributions
possibuly the support of a distribution
3. Elements of vector integration
Measurability of vector-valued functions, Pettis theorem
Weak integrability, Dunford and Pettis integrals
Bochner integral
Bochner spaces
Duality of Bochner spaces (briefly, no proofs)
4. Convex compact sets
Extreme points
Krein-Milman theorem
integral representation theorem
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)
Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)
Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. It is required to know notions, methods and results from the course Introduction to Functional Analysis NMMA331. Knowledge of basic concepts of general topology (topological spaces, continuous mappings, compactness) is recommended.
