Funkcionální analýza 1 - NMMA401

• Anglický název: Functional Analysis 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2021 do 2021
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• Virtuální mobilita / počet míst: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné; M Mgr. MOD; M Mgr. MOD > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
• Je záměnnost pro: NRFA050, NRFA051

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)

Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended for the first year of master studies. The course is devoted to advanced topics in functional analysis - topological vector spaces, weak topologies, vector integration, spectral theory.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

Pravidla pro akademický rok 2021/2022:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení tří domácích úkolů. V případě potřeby bude možné řešení opravit či doplnit, a to i opakovaně. Rezervace příkladů pro domácí úkoly i odevzdávání probíhá v systému Moodle Přesné podmínky jsou na webu přednášejícího.

Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

The rules for 2021/2022:

The course is finished by a credit and an exam.

The credit will be awarded after complete and correct solution of three homeworks. In case of necessity completion and/or corrections of solutions may be submitted, even repeatedly. Booking and submitting of homeworks is done in Moodle. Detailed conditions are available on the webpage of the lecturer.

Before passing the exam it is necessary to gain the credit.

Literatura

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 10-12)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (kapitoly 17 a 18)

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (chapters 1-3 and 10-12)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (chapter 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (sections III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (sections 2.3 and 3.3)

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (chapters 17 and 18)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim. Podrobnější informace o průběhu zkoušky a přesnější specifikace požadavků budou zveřejněny na webu přednášejícího.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam. More detailed explanation of the examination and requirements will be posted on the web of the lecturer.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)

Topological vector spaces, locally convex spaces, weak topologies, vector integration and Bochner spaces, Banach algebras, Gelfand transform, operators on Hilbert spaces, spectral decomposition and function calculus.

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)

Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. It is required to know notions, methods and results from the course Introduction to Functional Analysis NMMA331. Knowledge of basic concepts of general topology (topological spaces, continuous mappings, compactness) is recommended.