PředmětyPředměty(verze: 908)
Předmět, akademický rok 2022/2023
   Přihlásit přes CAS
Funkcionální analýza 1 - NMMA401
Anglický název: Functional Analysis 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2022
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Je záměnnost pro: NRFA050, NRFA051
Anotace -
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterských programů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - lokálně konvexní prostory a slabé topologie, teorie distribucí, vektorová integrace, kompaktní konvexní množiny.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)

Pravidla pro akademický rok 2022/2023:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení jedné úlohy a její následné předvedení na cvičení u tabule. Seznam vhodných úloh k vyřešení je na webu přednášejícího (vždy tři úlohy na následující týden). Úlohy je možné rezervovat buď mailem, nebo osobně.

Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.

Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 10-12)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (kapitoly 17 a 18)

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)

Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Lokálně konvexní prostory

Definice topologického vektorového prostoru a lokálně konvexního prostoru

Minkowského funkcionál, pseudonormy, generování lokálně konvexní topologie pomocí pseudonorem

Omezenost v lokálně konvexním prostoru

Metrizovatelnost a normovatelnost lokálně konvexních prostorů

Spojitá lineární zobrazení mezi lokálně konvexními prostory, funkcionály

Hahn-Banachova věta - rozšiřování a oddělování

Fréchetovy prostory

Slabé topologie - topologie generovaná podprostorem algebraického duálu, slabá a slabá* topologie, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivita a slabá kompaktnost, věta o bipoláře

2. Základy teorie distribucí

Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm

Distribuce - definice, příklady, operace, charakterizace

řád distribuce, konvergence distribucí

konvoluce distribuce a testovací funkce, aproximativní jednotka

konvoluce dvou distribucí - příklady, že to někdy funguje

Schwarzův prostor jako Fréchetův prostor

Temperované distribuce a jejich charakterizace

Fourierova transformace temperovaných distribucí

konvoluce temperovaných distribucí

případně nosič distribuce

3. Základy vektorové integrace

Měřitelnost vektorových funkcí, Pettisova věta

Slabá integrovatelnost, Dunfordův a Pettisův integrál

Bochnerův integrál

Bochnerovy prostory

Dualita Bochnerových prostorů - informativně, bez důkazu

4. Konvexní kompaktní množiny

Extremální body

Krein-Milmanova věta

věta o integrální reprezentaci

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK