PředmětyPředměty(verze: 811)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Funkcionální analýza 1 - NMMA401
Anglický název: Functional Analysis 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Petr Holický, CSc.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: doc. RNDr. Petr Holický, CSc. (09.10.2017)

Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro konání zkoušky.

Znalosti látky probrané na cvičeních jsou součástí látky zkoušené při ústní zkoušce.

Podmínky pro získání zápočtu se skládají z nejméně 8 účastí na cvičeních doplněných

pokud možno aktivitou na nich. K získání zápočtu je vhodné řešit postupně

zadávané úlohy nebo úlohy z jiné doporučené literatury. Ve výjimečných případech

bude možné nahradit účast na cvičeních řešením předepsaných úloh a doplněním si

procvičené látky. Zadané úlohy je v takovém případě třeba řešit průběžně v návaznosti

na odpřednesenou látku.

Vzhledem k charakteru požadavků nelze zápočet získat jinak než průběžným plněním

předepsaných povinností a nelze pro splnění těchto podmínek stanovit žádný náhradní termín.

Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. RNDr. Petr Holický, CSc. (09.10.2017)

Předpokladem pro konání zkoušky je udělení zápočtu.

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu,

který bude postupně doplňován o podrobný seznam odpřednesených tvrzení

a definic. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Sylabus -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK