PředmětyPředměty(verze: 901)
Předmět, akademický rok 2021/2022
  
Funkcionální analýza 1 - NMMA401
Anglický název: Functional Analysis 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2021 do 2021
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Je záměnnost pro: NRFA050, NRFA051
Anotace -
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

Pravidla pro akademický rok 2021/2022:

Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.

Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení tří domácích úkolů. V případě potřeby bude možné řešení opravit či doplnit, a to i opakovaně. Rezervace příkladů pro domácí úkoly i odevzdávání probíhá v systému Moodle Přesné podmínky jsou na webu přednášejícího.

Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.

Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 10-12)

M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)

J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)

R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997 (kapitoly 17 a 18)

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (24.09.2021)

Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim. Podrobnější informace o průběhu zkoušky a přesnější specifikace požadavků budou zveřejněny na webu přednášejícího.

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK