PředmětyPředměty(verze: 845)
Předmět, akademický rok 2018/2019
   Přihlásit přes CAS
Funkcionální analýza 1 - NMMA401
Anglický název: Functional Analysis 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2018 do 2018
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)
Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (20.09.2018)

Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro konání zkoušky.

Znalosti látky probrané na cvičeních jsou součástí látky zkoušené při ústní zkoušce.

K získání zápočtu je třeba odevzdat úplné a správné řešení dvou domácích

úkolů. Zadání domácích úkolů (včetně postupu při jejich rezervaci a odevzdávání)

bude zveřejněno na webovské stránce cvičícího. V případě, že odevzdané

řešení bude neúplné či ne zcela správné, lze odevzdat opravu. Počet oprav

není a priori omezen, je však nutné správné a úplné řešení obou úkolů

odevzdat nejpozději týden před termínem zkoušky (na posledním cvičení

v případě prvního termínu).

Povaha kontroly plnění vylučuje jiné možnosti opravy než výše zmíněné.

Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (07.05.2018)

Předpokladem pro konání zkoušky je udělení zápočtu.

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu.

Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Sylabus -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (24.05.2019)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z predmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331).

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK