Funkcionální analýza 1 - NMMA401

• Anglický název: Functional Analysis 1
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2018 do 2019
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinné; M Mgr. MOD; M Mgr. MOD > Povinné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended for the first year of master studies. The course is devoted to advanced topics in functional analysis - topological vector spaces, weak topologies, vector integration, spectral theory.

Podmínky zakončení předmětu

Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (20.09.2018)

Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro konání zkoušky.

Znalosti látky probrané na cvičeních jsou součástí látky zkoušené při ústní zkoušce.

K získání zápočtu je třeba odevzdat úplné a správné řešení dvou domácích

úkolů. Zadání domácích úkolů (včetně postupu při jejich rezervaci a odevzdávání)

bude zveřejněno na webovské stránce cvičícího. V případě, že odevzdané

řešení bude neúplné či ne zcela správné, lze odevzdat opravu. Počet oprav

není a priori omezen, je však nutné správné a úplné řešení obou úkolů

odevzdat nejpozději týden před termínem zkoušky (na posledním cvičení

v případě prvního termínu).

Povaha kontroly plnění vylučuje jiné možnosti opravy než výše zmíněné.

Literatura

čeština

Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Požadavky ke zkoušce

Poslední úprava: doc. RNDr. Bohumír Opic, DrSc. (07.05.2018)

Předpokladem pro konání zkoušky je udělení zápočtu.

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu.

Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

Topological vector spaces, locally convex spaces, weak topologies, vector integration and Bochner spaces, Banach algebras, Gelfand transform, operators on Hilbert spaces, spectral decomposition and function calculus.