PředmětyPředměty(verze: 806)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Funkcionální analýza 1 - NMMA401
Anglický název: Functional Analysis 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2017
Semestr: zimní
E-Kredity: 8
Rozsah, examinace: zimní s.:4/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Petr Holický, CSc.
Třída: M Mgr. MA
M Mgr. MA > Povinné
M Mgr. MOD
M Mgr. MOD > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy - topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.
Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991

Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997

Sylabus -
Poslední úprava: T_KMA (12.05.2015)

1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)

2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)

3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)

4. Vektorová integrace (měřitelné funkce, Bochnerův integrál, Bochnerovy prostory)

5. Banachovy algebry (definice, přidání jednotky, příklady, invertovatelnost, spektrum, spektrální poloměr, vlastnosti množiny invertovatelných prvků, Gelfand-Mazurova věta, topologické vlastnosti spektra, holomorfní kalkulus)

6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)

7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)

8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK