PředmětyPředměty(verze: 849)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Funkcionální analýza II - NRFA051
Anglický název: Functional Analysis II
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 6
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: zrušen
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Třída: DS, teoretická fyzika, astronomie a astrofyzika
Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza
Záměnnost : NMMA401
Anotace -
Poslední úprava: G_M (25.05.2007)
Banachovy algebry, Gelfandova reprezentace, základy nelineární funkcionální analýzy, geometrie Banachových prostorů, věty o pevných bodech, topologický stupeň. Doplňky dle výběru (základy harmonické analýzy, neomezené operátory, teorie semigrup).
Literatura
Poslední úprava: G_M (25.05.2007)

P. Habala, P. Hájek and V. Zizler, Introduction to Banach spaces I, II,

Matfyzpres Praha, 1996

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, skripta, Karolinum Praha,

Univerzita Karlova, 1998, 2002, 2003

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál, skripta, Univerzita Karlova 1993

(anglické vydání 1995, 2005)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia Praha 1977

(přepracované vydání 2003)

W. Rudin, Functional analysis, Mc Graw Hill 1973 (ruský překlad 1975)

Sylabus -
Poslední úprava: G_M (25.05.2007)
1. BANACHOVY ALGEBRY

1.A. Banachovy algebry

pojem Banachovy algebry, příklady (C(K), lineární operátory na Banachově

prostoru, disková algebra, L^1( R) s konvolucí, l^1(Z) )

otázka existence jednotky

spojitost násobení

vlastnosti množiny regulárních prvk? (topologická grupa, otevřenost, vyjádření

inverzního prvku a jeho norma

spektrum, rezolventa a spektrální poloměr

rezolventní funkce

kompaktnost a neprázdnost spektra

Gelfand-Mazurova věta

Beurlingův vzoreček

1.B. Gelfandova reprezentace

charaktery jako multiplikativní funkcionály, prostor charakterů a

Gelfandova topologie na něm

Gelfandova transformace a její základní vlastnosti

příklady ( C (K), l^1 (Z))

kdy je Gelfandova reprezentaze prostým zobrazením (radikál algebry),

kdy izometrií a kdy je na (Gelfand-Naimarkova věta)

2. ZÁKLADY NELINEÁRNÍ FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY

2.A. Geometrie Banachových prostorů

striktně konvexní a uniformně konvexní prostory

přenormování separabilního prostoru

promítání v uniformně konvexních prostorech

slabé a normové uzávěry konvexních množin

slabá polospojitost normy

promítání v reflexivních striktně konvexních prostorech

2.B. Věty o pevných bodech

pojem FPP a retraktu

Brouwerova věta pro jednotkovou kouli a její zobecnění

Schauderův příklad

Schauderova věta a některá její zobecnění (důkaz pomocí renormace a

Brouwerovy věty)

použití Schauderovy věty (existenční věty pro diferenciální a integrální rovnice)

2.C. Topologický stupeň

základní požadavky na topologický stupeň

Sardova věta jako speciální. případ obecnějšího tvrzení

zavedení topologického stupně v prostorech konečné dimenze

důkaz Brouwerovy věty

3. DOPLŇKY DLE VÝBĚRU

3.A. Základy harmonické analýzy

topologická grupa, příklady

Haarova míra na kompaktních či lokálně kompaktních prostorech

(existence a jednoznačnost)

konvoluce funkcí, grupová algebra L ^1(G)

charaktery grupy, duální grupa, Pontrjaginova věta

popis charakterů na R, Z, T

Gelfandův prostor L ^1(G)

Gelfandova transformace funkcí z L ^1(G) a vztah k Fourierově

transformaci a Fourierovým řadám

3.C. Neomezené operátory

operátory s hustým definičním oborech a uzavřeným grafem

adjungovaný operátor, jeho vlastnosti

symetrické a samoadjungované operátory

pojem inverze a spektra, vlastnosti

Möbiova a Caleyova transformace

spektrální teorie neomezených samoadjungovaných operátorů

3.D. Teorie semigrup

semigrupy operátorů, slabě a silně spojité semigrupy, kontrakční semigrupy

infinitezimální generátor semigrupy, příklady

rezolventy, Laplaceova transformace a vztah k semigrupám

Hille-Yosidova charakteristika

Vědomosti z Úvodu do funkcionální analýzy:

vlastnosti základních příkladů Banachových a Hilbertových prostorů,

topologické doplňky, promítání v Banachových a Hilbertových prostorech,

ortonormální báze, prostor lineárních zobrazení, Fréchet-Rieszova věta o

reprezentaci lineárních funkcionálů na Hilbertových prostorech,

popisy různých duálů, Hahn-Banachova věta včetn? důsledků, kanonické vnoření

a reflexivní prostory, kompaktní operátory, adjungovaná zobrazení, slabé konvergence,

princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, Banachova věta o

otevřeném zobrazení, uzavřená zobrazení, kompaktnost a slabá kompaktnost jednotkové

koule v Banachových prostorech, spektrum kompaktního operátoru

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK