PředmětyPředměty(verze: 845)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Lineární algebra II - NMAF028
Anglický název: Linear Algebra II
Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: letní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: letní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: zrušen
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. Ing. Branislav Jurčo, CSc., DSc.
Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D.
Třída: Fyzika
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Fyzika > Matematika pro fyziky
Neslučitelnost : NOFY142
Záměnnost : NOFY142
Je neslučitelnost pro: NOFY142
Je záměnnost pro: NOFY142
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (28.05.2002)
Přednáška poskytuje, spolu s paralelní přednáškou analýzy, základní matematický kurs pro studenty fyziky. Důraz je kladen i na propojení znalostí všech těchto oboru. Klíčová témata přednášky: Jordanův tvar, samoadjungované operátory, kvadratické formy, tensory.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (21.02.2019)

Předmět je zakončen složením zápočtu a zkoušky. Složení zápočtu je podmínkou pro účast u zkoušky. Podmínky zkoušky jsou specifikovány v dokumentu Požadavky ke zkoušce. Zápočet je udělován za průběžnou a systematickou práci na cvičení a jeho povaha tedy vylučuje možnost opakování, s výjimkou velkého zápočtového testu.

Pro získání zápočtu bude třeba splnit současně dvě kritéria:

získat 70% bodů za práci na cvičení (v součtu)

získat 50% bodů za testy (v součtu)

Testy:

Dva malé testy, píší se na cvičení v předem specifikovaných týdnech, za každý maximum 8 bodů, bez možnosti opravného termínu.

Velký test, píše se na poslední přednášce, 5-6 příkladů z učiva celého semestru, maximum 30 bodů, dva předem vyhlášené opravné termíny v průběhu zkouškového období.

V součtu za oba testy je tedy třeba získat 23 bodů. Opravný test může buď nahradit výsledek velkého testu (hranice úspěšnosti je pak 23 bodů), nebo být posuzován samostatně bez přihlížení k malým testům (v tom případě je hranice 19 bodů).

Práce na cvičení

Za každé z 10-12 témat (každé odpovídá jedné přednášce) je možné získat 10 bodů, dalších 10 je možné získat za aktivitu na cvičení (např. prezentaci obtížnější úlohy). Je třeba získat alespoň 70% bodů z celkového počtu takto dostupných bodů.

Z 10 bodů za dané téma je zpravidla 8 bodů za aktivitu na cvičení nebo domácí úlohy a 2 body za předpřednáškový kvíz.

Kdo získá méně než 70% z celkového počtu dostupných bodů, ale alespoň 50% bodů, bude moci kritérium práce na cvičení splnit dodatečnými domácími úlohami dle seznamu na webu kurzu. Je třeba odevzdat všechny úlohy, bez ohledu na to, kolik procent bodů do 70% chybí.

Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do 15. března.

Literatura
Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)

L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002

K. Výborný, M.Zahradník: Používáme lineární algebru (sbírka řešených příkladů), Karolinum 2002

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (28.02.2018)

Zkouška se skládá ze dvou částí, kterými je písemný orientační test a ústní zkoušení s přípravou. Orientační test předchází ústní zkoušce. Podmínkou složení zkoušky je úspěšné složení obou částí.

Orientační test obsahuje 5 otázek rovnoměrně pokrývajících sylabus předmětu v rozsahu, v jakém byl odpřednesen. Cílem orientačního testu je ověřit znalost základních pojmů a tvrzení z přednášky a porozumění jim, přesné požadavky jsou specifikovány na webu kurzu. Test je úspěšně složen získáním alespoň 70% bodů z něj. Pouze v případě jeho složení následuje ústní část.

Cílem ústní části je ověřit hloubku znalostí studenta, zejména co se týče porozumění vztahům mezi pojmy z přednášky a důkazům tvrzení. Před samotným zkoušením má student možnost přiměřené písemné přípravy. Na základě znalostí studenta u ústní části stanoví zkoušející známku z celé zkoušky. Může při tom přihlédnout k výsledkům orientačního testu, zároveň v případě zjištění základní neznalosti pojmu či tvrzení z požadavků ke zkoušce může být i u ústní části udělena známka nevyhověl.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)
  • Exponenciála matice. Definice, základní vlastnosti (vlastní vektory exponenciály, exponenciála podobných matic). Vztah Tr A a det exp A . Příklady .
  • Pojem Lieovy algebry a příklady : g = gl, sl, o, u, su. Vztahy typu exp g = G. Izomorfismus vektorového násobení a komutování v o(3).
  • Teorie nilpotentních operátorů. Ekviv. charakterizace pomocí spektra, příklady (operátory derivování na polynomech). Studium posloupnosti kořenových podprostorů k-tého řádu a alternativně k-násobných obrazů. Nezávislost vůči podprostoru. Konstrukce počátečních vektorů řetězců dávajících Jordanovu basi prostoru .
  • Direktní rozklad prostoru na kořenové podprostory daného operátoru . Obecná Jordanova věta. Věta Hamilton Cayleyho. Exponenciála Jordanovy matic s použitím na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.
  • Positivní a stochastické matice. Hledání největšího vlastního čísla iterací. Interpretace příslušného vlastního vektoru (stacionární stav systému).
  • Pojem duálního prostoru, duální base, duálního operátoru, transponované matice, ontragradientní matice (přechodu duálních basí).
  • Dualita a skalární součin: věta o representaci lineární formy (skalárním násobením vhodným vektorem). Pojem adjungovaného operátoru. Samoadjungované (Hermitovské), unitární, obecněji normální operátory. Adjunkce diferenciálního operátoru a metoda per partes.
  • Věta o spektrálním rozkladu normálního operátoru. Příklad - operátor derivování na trigonometrických polynomech. Funkce normálního operátoru. Ortogonální polynomy (příklad : Hermitovy, Legendreovy) jako výsledek ortogonalizačního procesu ve vhodném skalárním součinu (alternativně jako vlastní vektory vhodného diferenciálního operátoru). Kreační a anihilační operátor.
  • Bilineární a kvadratické formy . Diagonalizace Hermitovské formy : a) doplněním na čtverec b) Jacobi Sylvesterův zápis ortogonalizačního procesu (zvl. pro positivně definitní formy) c) diagonalizace pomocí spektrálního rozkladu representujícího operátoru formy (dávající ortog. \"hlavní osy\" formy). Signatura formy a způsoby jejího zjištování .
  • Kvadriky (a kuželosečky), klasifikace a vlastnosti (omezenost, přímkové plochy, vlastnosti rovinných řezů). Zmínka o projektivním prostoru. Význam paraboloidů v analýze funkcí více proměnných (lokální extrémy, sedlové body funkcí).
  • Polární rozklad obecného operátoru na kompozici unitárního a Hermitovského operátoru (resp. unitárního, diagonálního, unitárního operátoru) .
  • Pseudoinverse obdélníkové matice.
  • Pojem tensorového součinu vektorových prostorů, isomorfismy mezi různými definicemi, jako je formální lineární obal kartézského součinu basí, množina multilineárních funkcionálů na součinu duálů, faktorprostor formálního lineárního obalu kartézského součinu prostorů . Rozložitelné tensory. Příklady tensorů: vektory, kovektory, bilineární formy, strukturní tensor algebry, determinant jako multilineární funkce sloupců, fyzikální příklady.
  • Složkový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
  • Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
  • Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin.
  • Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.kový zápis tensoru a transformační vztahy. Kovariantní a kontravariantní indexy tensoru, zápisy indexů dolů a nahoru a sumační pravidlo.
  • Základní operace s tensory : tensorové násobení, součet tensorů stejného typu, permutace složek tensoru, úžení (stopa). Tensory a skalární součin : ortogonální transformace tensorů, zdvihání a spouštění indexů.
  • Symetrické tensory, symetrizace, symetrický tensorový součin.
  • Antisymetrické tensory, antisymetrizace, antisymetrický (vnější) tensorový součin, Grassmannova algebra . Vektorový součin. Měření ploch mnohoúhelníků, obecněji k-rozměrných polyedrů v n-rozměrném euklidovském prostoru. Grammova matice a Grammův determinant obdélníkové matice.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK