Úvod do kombinatoriky a teorie grafů. Důraz je kladen na aktivní
zvládnuti základních pojmů a metod (relace, zobrazení, graf;
přesná formulace matematických tvrzení, řešení příkladů a dokazovaní
jednoduchých tvrzení).
Poslední úprava: T_KAM (06.05.2001)
Introduction to combinatorics and graph theory. We lay stress on active knowledge of basic definitions and methods (relation, mapping, graph, exact formulation of mathematical theorems, problem solving and proofs of simple statements).
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: Mgr. Jan Kynčl, Ph.D. (11.10.2017)
Zápočet bude udělen za zisk dostatečného počtu bodů udělovaných průběžně za písemné testy, řešení domácích úloh, aktivitu na hodinách, popř. docházku. Přesné podmínky se však individuálně liší u jednotlivých vyučujících a budou popsány níže. Z průběžné povahy kontroly neplyne nárok na vypisování opravných termínů testů. Získání zápočtu je nutnou podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce.
J. Amemori: Pro zisk zápočtu je potřeba získat 140 bodů. Za domácí úkoly a písemky bude možné získat alespoň 210 bodů. Dále je možné body získávat za občasné bonusové příklady. Písemky budou na každém cvičení krom posledního; na posledním cvičení bude "speciální písemka" na které bude možné v případě potřeby dohnat zmeškané body za předchozí písemky.
R. Hušek: Na zápočet je potřeba nasbírat 30 bodů z 50 možných. Budou písemky za 40 bodů a domácí úkoly za 10 bodů. Bonusové body bude možné získávat za aktivitu v hodině.
P. Korcsok: Na získání zápočtu je potřeba aspoň 60 bodů, z toho aspoň 20 bodů z domácích úloh a aspoň 20 bodů z písemek. Celkem sa dá získat 50 bodů za domácí úlohy a 50 bodů za písemky, bonusové body bude možné získat za aktivitu v hodině.
M. Mareš: Zápočet si lze vysloužit za získání alespoň 128 bodů za domácí úkoly. Každý domácí úkol lze řešit 14 dní od zadání za plný počet bodů, pak na cvičení bude poskytnuta nápověda a poté bude možné získat poloviční počet bodů.
J. Novotná: V průběhu semestru budou vypsány domácí úkoly za 40 bodů, velká písemka za 20 bodů a malé písemky dohromady za 20 bodů. Pro získání zápočtu bude třeba získat dohromady alespoň 50 bodů, přičemž alespoň 12 bodů z velké písemky nebo z malých písemek. Dále bude možné získávat bonusové body za aktivitu.
J. Syrovátková: Na zápočet je potřeba celkem 280 bodů. Budou se psát 3 písemky, každá za 100 bodů, dále domácí úkoly celkem za 100 bodů. Další body je možné získat za aktivitu na cvičení (dobrovolné domácí úkoly u tabule a podobně).
M. Tancer: Pro zisk zápočtu je potřeba získat alespoň 70 bodů. V průběhu semestru budou vypsány dvě písemky dohromady na 100 bodů. Dále bude možné body získávat za aktivitu, příležitostné domácí úkoly a docházku (5 bodů při max. dvou absencích). Po skončení semestru bude "speciální písemka" na které bude možné v případě potřeby dohnat zmeškané body za obě předchozí písemky.
Poslední úprava: doc. Hans Raj Tiwary, M.Sc., Ph.D. (12.10.2017)
Hans Raj Tiwary:
There will be two small tests for the credit for the tutorial.
It is required to obtain 50% of the points to pass the tutorial.
The material for the tests will be the one covered during the lectures.
Obtaining the credit is necessary before the final exam.
There is provision for repeated attempts for the credit.
Literatura -
Poslední úprava: G_I (25.01.2007)
J. Matousek, J. Nesetril: Kapitoly z diskretni matematiky, nakladatelstvi Carolinum, Praha, 2000
Poslední úprava: doc. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (22.11.2012)
J. Matousek, J. Nesetril: Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, 2008, 2nd edition.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. (13.10.2017)
Forma zkoušky se liší u jednotlivých přednášejících, jak popíšeme níže. Teoretická část zkoušky bude z látky odpřednesené jednotlivými přednášejícími na přednášce a dále na zkoušce budou/mohou být početní příklady z této látky.
J. Kynčl: Zkouška bude ústní, studenti budou mít čas na přípravu řešení otázek a příkladů před jejich prezentováním zkoušejícímu.
M. Tancer: Zkouška bude mít písemnou a ústní část. Písemná část je povinná, ústní část je nepovinná, ale může sloužit k vylepšení známky, jak bude popsáno níže. Ústní část probíhá týž den jako písemná část. Z písemné části je možné získat známky 1, 2, 3, 3- nebo 4. Na ústní části lze vylepšit pouze známky 2, 3 nebo 3- (maximálně o jeden stupeň, známku 3- nejlépe na známku 3), nevylepšená známka 3- se počítá jako 4. V případě opakování termínu je potřeba psát opět i písemnou část.
Poslední úprava: doc. Hans Raj Tiwary, M.Sc., Ph.D. (12.10.2017)
Hans Raj Tiwary:
There will be one written exam for the main course, with oral part where the students explain
their solutions at the end of the exam. The material for the exam will be the same as taught in the lecture.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. (26.01.2018)
Základní značení, motivační příklady, co je důkaz, důkaz indukcí.
Funkce, relace, ekvivalence. Permutace.
Základní kombinatorické počítání (počet podmnožin, k-prvkových podmnožin, všech zobrazení, prostých zobrazení, permutací). Binomická věta.
Princip inkluze a exkluze a jeho aplikace (šatnářka).
Pravděpodobnostní prostor (nejvýš spočetný, všechny podmnožiny jsou jevy). Nezávislé jevy, podmíněná pravděpodnost. Náhodná veličina, distribuční funkce. Střední hodnota a její výpočet. (Základní diskrétní pravděpodobnostní rozdělení).
Základní pojmy z grafù, cesta/tah/sled, izomorsmus apod.
Charakterizace eulerovských grafù (též orientovaný případ, silná a slabá souvislost).
Stromy (různé charekterizace, existence listu).
Rovinné grafy, Eulerova formule, maximální počet hran.
Částečné uspořádání, řetězce a antiřetězce, věta o dlouhém a širokém, Erdösovo-Szekeresovo lemma o monotónní podposloupnosti.
Rozšiřující témata: hra HEX; věta o skóre.
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. (26.01.2018)
Basic notation, motivating examples, the concept of a proof, proof by induction.
Mappings, relations, equivalences. Permutations.
Basic combinatorial counting (the number of subsets, of subsets of size k, of all mappings, of all injective mappings, of permutations). The binomial theorem.
Probability space (at most countable, all subsets are events). Independent events, conditional probability. Random variable, distribution function. Expectation, examples of calculation.
Basic notions of graph theory, path/circuit/walk, isomorphism, etc.
Characterisation of Eulerian graphs (including directed case; strong and weak connectedness).
Trees (various characterisations, existence of a leaf).
Planar graphs, Euler's formula, maximum number of edges.
The chromatic number of a graph, characterisation of bipartite graphs, chromatic number of a d-degenerate graph is at most d+1; 5-colorability of planar graphs (using Kempe's chains).
Partial orderings, chains and antichains, large implies tall or wide, Erdös-Szekeres lemma on monotone subsequences.
