Deskriptivní teorie množin - Borelovské ekvivalence - NRFA081

• Anglický název: Descriptive Set Theory - Borel Equivalence Relations
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2009 do 2013
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: RNDr. Jindřich Zapletal, DSc.
• Třída: DS, matematická analýza
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza

Anotace

čeština

Poslední úprava: G_M (06.06.2008)

Mnoho matematických problémů se týká otázky ekvivalence jistých objektů--isomorfismus grup, konjugace dynamických systémů atd. Teorie Borelovských ekvivalencí zavádí rámec, v němž je možné tyto problémy navzájem porovnávat podle obtížnosti a dále klasifikovat. Teorie se dotýká téměř každé oblasti moderní matematiky a v posledním desetiletí zaznamenala mnoho důležitých úspěchů.

angličtina

Poslední úprava: G_M (06.06.2008)

Many mathematical problems concern equivalences of certain objects--isomorphism of groups, conjugacy of dynamical systems etc. The theory of Borel equivalence relations allows one to rate these questions according to their difficulty and further classify them. The theory finds applications in almost every branch of modern mathematics and it has been remarkably successful in the last decade.

Literatura

Poslední úprava: T_KMA (20.05.2009)

1. Alexander Kechris. Classical descriptive set theory, Springer Verlag, 1994

2. Jindřich Zapletal. Skripta pro tento kurs (rukopis přednášejícího)

Sylabus

čeština

Poslední úprava: G_M (06.06.2008)

Téma 1. Polské prostory. Cantorovo diskontinuum, Baireův prostor, Hilbertova kostka, hyperprostory, prostory funkcí, prostory měr. Letem světem úvod do světa objektů, které mohou být předmětem našeho studia.

Téma 2. Borelovské a analytické podmnožiny polských prostorů. Suslinova věta, univerzální množiny, uniformizační věty. Zavedu Borelovskou hierarchii a analytické množiny, s důrazem na příklady. Některé věty dokážu, jiné nechám bez důkazu.

Téma 3. Mapa Borelovských ekvivalenčních relací uspořádaná podle redukovatelnosti. Prezentuji tuto mapu tak jak je dnes známa a zakreslím do ní mnoho ekvivalencí z různých odvětví matematiky: isomorfismy spočetných struktur (grupy), konjugace dynamických systémů, isometrie metrických prostorů atd. Identifikuji důležité uzly a podoblasti, a formuluji Silverovu a Glimm-Effrosovu dichotomii. Tato část kurzu nebude obsahovat žádné důkazy, nicméně je klíčová pro motivaci.

Téma 4. Vyšetřování základních příkladů. Zde budu porovnávat několik velmi jednoduchých ekvivalencí podle redukovatelnosti, s detailními důkazy.

Téma 5. Polské grupy a jejich akce. Mnohé ekvivalence v praxi se obdrží jako orbitové ekvivalence akcí polských grup. Zavedu základní příklady jako grupy permutací nebo unitární grupu, a podle času pojem turbulence.

angličtina

Poslední úprava: G_M (06.06.2008)

Many mathematical problems concern equivalences of certain objects--isomorphism of groups, conjugacy of dynamical

systems etc. The theory of Borel equivalence relations allows one to rate these questions according to their difficulty and

further classify them. The theory finds applications in almost every branch of modern mathematics and it has been

remarkably successful in the last decade.