Reálně analytické vlastnosti sobolevovských funkcí. Záměna proměnných v integrálu pro lipschitzovské
transformace – area a coarea formula. Derivování konvexních funkcí. Povinně volitelná přednáška magisterského
oboru Matematická analýza.
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)
Real-analytic properties of Sobolev functions. Change of variables in integral for Lipschitz transformations – area
and coarea formula. Differentiation of convex functions. Recommended for master students of mathematical
analysis.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (10.10.2017)
Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce.
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (29.10.2019)
The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent
Literatura -
Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)
L. C. Evans, R. F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992
W. P. Ziemer: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Springer-Verlag, New York, 1989
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (29.10.2019)
L. C. Evans, R. F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992
W. P. Ziemer: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Springer-Verlag, New York, 1989
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (29.10.2019)
Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, jak byl presentován na přednášce.
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (29.10.2019)
The exam is oral. The required knowledge corresponds to the sylabus at the presented extent
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Stanislav Hencl, Ph.D. (01.10.2013)
1. Reálně analytické vlastnosti sobolevovských funkcí.
Odhad Rieszovým potenciálem
Beppo Leviho charakterizace
Věty o vnoření
Kritéria pro spojitost
Aproximativní diferencovatelnost, kritéria pro diferencovatelnost skoro všude.
Příklady na nespojitost a nediferencovatelnost
2. Záměna proměnných v integrálu pro lipschitzovské transformace
Area formula
Coarea formula
Věty Sardova typu
Luzinova podmínka N
3. Derivování konvexních funkcí.
Lipschitzovské odhady
Zajíčkova věta o prvé derivaci (informativně)
Alexandrovova věta o druhé derivaci skoro všude
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (09.06.2015)
Examples concerning discontinuity and non-differentiability
2. Change of variables in integral for Lipschitz transforms
Area formula
Coarea formula
Sard type theorems
Luzin's (N) condition
3. Differentiation of convex functions
Lipschitz estimates
Zajíček's theorem (informatively)
Alexandrov's theorem
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (02.05.2018)
Míry, Radon-Nikodýmova věta, Lebesgueův integrál, Radonovy míry, konvoluce, zhlazování konvolucí, silná, slabá a slabá* konvergence v Banachových prostorech,
základy teorie distribucí, lipschitzovské funkce a zobrazení, Hahn-Banachova věta, Hausdorffova míra, L^p prostory a prostory spojitých funkcí.
Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (02.05.2018)
Measures, Radon-Nikodym theorem, Lebesgue integral, Radon measures, convolution, smoothing by convolution, strong, weak and weak* convergence in Banach spaces, elements of theory of distributions, Lipschitz functions and mappings, Hahn-Banach theorem, Hausdorff measure, L^p spaces and spaces of continuous functions
