Úvod do teorie interpolací 2 - NMMA534

• Anglický název: Introduction to Interpolation Theory 2
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: RNDr. Lenka Slavíková, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MA; M Mgr. MA > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Funkční analýza, Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : NRFA076
• Záměnnost : NRFA076
• Je záměnnost pro: NRFA076

Anotace

čeština

Pokročilejší partie moderní reálné teorie interpolací. Povinně volitelná přednáška pro magisterský obor Matematická analýza.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

angličtina

Advanced topics from the interpolation theory. Recommended for master students of mathematical analysis.

Poslední úprava: T_KMA (02.05.2013)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Ústní zkouška z předem známých vybraných pasáží z přednášky.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)

angličtina

Oral exam on a-priori known parts of the course.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)

Literatura

čeština

R.A. Adams, Sobolev Spaces,Academic Press, New York, 1975.

C. Bennett, R. Sharpley: Interpolation of Operators, Academic Press, Princeton, 1988.

J. Bergh, J. Löfström: Interpolation Spaces, Springer, Berlin, 1976.

L. Pick, A. Kufner, O. John and S. Fučík: Function Spaces I, De Gruyter, Berlin, 2012.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)

Sylabus

čeština

1. Úvod do interpolačního principu

Youngovy funkce a Orliczovy prostory, Lebesgueovy prostory, věty o vnoření, Minkowského a Hölderova nerovnost, interpolační princip vnoření Lebesgueových prostorů

2. Klasické interpolační věty: Rieszova-Thorinova věta o konvexitě

Rieszova-Thorinova věta o konvexitě, operátor silného typu, Rieszova věta o konvexitě pro pozitivní operátory, Hadamardova věta o třech přímkách, Rieszova-Thorinova věta, Hausdorffova-Youngova nerovnost, omezenost konvolučních operátorů na Lebesgueových prostorech, Hardyho nerovnost, interpolační čtverec

3. Klasické interpolační věty: Yanova extrapolační věta

Operátor integrálního průměru, Yanova extrapolační věta

4. Klasické interpolační věty: Marcinkiewiczova věta

Nerostoucí přerovnání, Lorentzovy prostory, vnoření mezi nimi, Hölderova nerovnost, Hardyův-Littlewoodův princip, slabý typ operátoru, Marcinkiewiczova věta, Hardyův-Littlewoodův maximální operátor, Rieszův potenciál, Hilbertova transformace, singulární integrální operátory

5. Operátory sdruženého typu

Calderónův operátor, Herzova nerovnost, O´Neilova nerovnost, Calderónův operátor, operátor sdruženého typu, interpolace operátorů sdruženého typu, Lorentzovy-Zygmundovy prostory

6. Abstraktní teorie interpolací

Kategorie a funktory, kompatibilní pár, suma a průnik kompatibilních prostorů, interpolační prostor, Aronszajnova-Gagliardova věta

7. Reálná metoda interpolace

Peetreův K-funkcionál, Gagliardovo zúplnění, Holmstedtovy formule, věta o reiteraci, J-funkcionál, výpočet K-funkcionálu pro konkrétní dvojice prostorů

8. Interpolace komkpaktních operátorů

Interpolace kompaktních operátorů na Lebesgueových prostorech, Cwikelova věta

9. Optimální vnoření Sobolevových prostorů

Prostor s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání, Pólyova-Szegöova nerovnost, Sobolevův prostor, Sobolevovo vnoření, konstrukce optimálního cílového prostoru pro Sobolevovov vnoření.

Poslední úprava: T_KMA (19.09.2013)

angličtina

1. Introduction to the interpolation principle

Young functions, Orlicz spaces, Lebesgue spaces, embedding theorems, Minkowski inequality, Hölder inequality, interpolation inequalities in Sobolev embeddings

2. Classical interpolation theorems: Riesz-Thorin convexity theorem

Riesz-Thorin convexity theorem, operator pf strong type, Riesz convexity theorem for positive operators, Hadamard three lines theorem, Riesz-Thorin theorem, Hausdorff-Young inequaity, boundedness of convolution operators on Lebesgue spaces, Hardy inequality, interpolation square

3. Classical interpolation theorems: Yano extrapolation theorem

Integral mean operator, Yano theorem

4. Classical interpolation theorems: Marcinkiewicz theorem

Nonincreasing rearrangement, Lorentz spaces, embeddings, Hölder inequality, Hardy-Littlewood--Pólya principle, operator of weak type, Marcinkiewicz theorem, Hardy-Littlewood maximal operator, Riesz potential, Hilbertov transform, singular integral operators

5. Joint-typeoperators

Calderón operator, Herz inequality, O´Neil inequality, Calderón operator, operator of joint weak type, interpolation of such operators, Lorentz-Zygmund spaces

6. Abstract interpolation theory

Categories and functors, compatible couple, sum and intersection, interpolation space, Aronszajn-Gagliardo theorem

7. Real method of interpolation

Peetre K-functional, Gagliardo completion, Holmstedt formulae, reiteration theorem, J-functional, examples of K-functionals for certain pairs of spaces

8. Interpolation of compact operators

Compact operators on Lebesgue spaces, Cwikel theorem

9. Optimal Sobolev embeddings

Rerrangement-invariant space, Pólya-Szegö inequality, Sobolev space, Sobolev embedding, optimal range construction.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)

Vstupní požadavky

čeština

Základy teorie míry.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)

angličtina

Basic knowledge in measure theory.

Poslední úprava: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (22.07.2018)