PředmětyPředměty(verze: 901)
Předmět, akademický rok 2021/2022
  
Geometrické metody teoretické fyziky II - NTMF060
Anglický název: Geometrical Methods of Theoretical Physics II
Zajišťuje: Ústav teoretické fyziky (32-UTF)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2020 do 2021
Semestr: letní
E-Kredity: 4
Rozsah, examinace: letní s.:3/0 Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF060
Garant: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.
Patří mezi: Doporučené přednášky 1/2
Anotace -
Poslední úprava: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (04.02.2021)
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem, Hodgeova teorie, topologické metody. Lieovy grupy a algebery. Fibrované prostory, geometrická formalace kalibračních polí, charakteristické třídy. SL(2,C) spinory. Určeno zejména pro studenty teoretické fyziky. Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v rozsahu přednášky NTMF059 Geometrické metody teoretické fyziky I, na kterou tento předmět volně navazuje.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)

Ústní zkouška v rámci které budou hodnocena i řešení zadaných domácích problémů.

Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)
  • C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
  • M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
  • T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
  • M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
  • Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
  • J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
  • Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
  • E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
  • R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
  • P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
  • C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
  • S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
  • M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)

Zkouška je ústní, požadavky odpovídají sylabu, v detailech pak tomu, co bylo během semestru odpřednášeno. Hodnotí se i řešení zadaných domácích problémů.

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (28.01.2021)
Hodgeova teorie
Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Topologické metody
Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem
Vnější kalkulus (přehled). Formulace Maxwellových rovnic. Ortonormální báze, Cartanovy rovnice struktury, Ricciho koeficienty, Bianchiho identity. Výpočet tenzoru křivosti, příklad - Vaidyaho metrika.
Přehled geometrie Lieových grupy a algeber
Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Fibrované prostory
Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formulace kalibračních polí
Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
Charakteristické třídy
Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
Dvoukomponentové spinory
Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky, vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK