PředmětyPředměty(verze: 901)
Předmět, akademický rok 2021/2022
  
Geometrické metody teoretické fyziky I - NTMF059
Anglický název: Geometrical Methods of Theoretical Physics I
Zajišťuje: Ústav teoretické fyziky (32-UTF)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2020
Semestr: zimní
E-Kredity: 6
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Virtuální mobilita / počet míst: ne
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF059
Garant: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.
RNDr. Robert Švarc, Ph.D.
Anotace -
Poslední úprava: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (14.05.2021)
Základy topologie; diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole; zobrazení variet, difeomorfismy, indukovaná zobrazení, Lieova derivace; vnější kalkulus; kovariantní derivace, paralelní přenos, geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí; (pseudo-)Riemannovy variety, metrické derivace, Levi-Civitova derivace, Killingovy vektory; integrabilita a Frobeniova věta; integrování na varietách, hustoty, integrální věty. Přednáška je určena pro zájemce v závěru bakalářského či začátku magisterského studia.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

Cílem předmětu je seznámit posluchače s metodami diferenciální geometrie a jejich aplikacemi ve fyzice.

Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (12.10.2017)

Zápočet se uděluje za vypracovaný zápočtový problém zadaný během semestru. Pokud odevzdané řešení není vyhovující, je vráceno studentovi k dopracování. Správné řešení musí být odevzdáno do konce zkouškového období zimního semestru. Vyřešení zápočtového problému nelze nahradit jiným způsobem.

Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (23.09.2021)

O. Kowalski: Základy Riemannovy geometrie, skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.

P. Krtouš: Geometrické metody ve fyzice, studijní text, WWW, 2006-2014.

C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.

S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.

R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.

R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.

M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.

T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.

Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.

C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.

S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.

M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.

J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.

Metody výuky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

Metodou výuky je přednáška a cvičení.

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (12.10.2017)

Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část se skládá z jednoho příkladu rozsahu odpovídajícímu příkladům řešených na cvičení. Ústní část zahrnuje dvě otázky na témata z aktuálního sylabu v rozsahu probíraném na přednášce.

Hodnocení vychází z celkového výkonu studenta jak v písemné, tak ústní části.

Při nesložení zkoušky další termín obsahuje opět jak písemnou, tak ústní část.

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (23.09.2021)
Tenzorový počet
vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety
základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky
Zobrazení variet a Lieova derivace
zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace
Vnější kalkulus
vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy
Riemannova a pseudoriemannova geometrie
metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace
Kovariantní derivace
paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor
Prostor kovariantních derivací
pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová derivace, souřadnice kovariantní derivace, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, metrické derivace, tenzor kontorze
Levi-Civitova kovariantní derivace
jednoznačnost, Christoffelovy symboly, Cartanovy rovnice struktury, symetrie tenzoru křivosti, ireducibilní části Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor
Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace
vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a tenzory, symetrie
Podvariety a distribuce
vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice, tečný a normálový prostor; distribuce, podmínky integrability, Frobeniova věta
Integrování na varietách
integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element
Integrální věty
zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, Stokesova a Gaussova věta
 
Univerzita Karlova | Informační systém UK