Základy topologie; diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole; zobrazení variet,
difeomorfismy, indukovaná zobrazení, Lieova derivace; vnější kalkulus; kovariantní derivace, paralelní přenos,
geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí; (pseudo-)Riemannovy variety, metrické derivace, Levi-Civitova
derivace, Killingovy vektory; integrabilita a Frobeniova věta; integrování na varietách, hustoty, integrální věty.
Přednáška je určena pro zájemce v závěru bakalářského či začátku magisterského studia.
Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)
Foundations of topology; differentiable manifolds, tangent bundles, vector and tensor fields; maps of manifolds,
diffeomorphism, induced mapping, Lie derivative; exterior calculus; covariant derivative, parallel transfer and
geodesic curves, torsion and curvature, space of connections; (pseudo-)Riemann manifolds, metric derivatives,
Levi-Civita derivative, Killing vectors; integrability and Frobenius theorem; integration on manifolds, integrable
densities, integral theorems.
Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)
Cíl předmětu -
Cílem předmětu je seznámit posluchače s metodami diferenciální geometrie a jejich aplikacemi ve fyzice.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)
The goal of this lecture is to acquaint the students with differential geometry and its applications in physics.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)
Podmínky zakončení předmětu -
Zápočet se uděluje za vypracovaný zápočtový problém zadaný během semestru. Pokud odevzdané řešení není vyhovující, je vráceno studentovi k dopracování. Správné řešení musí být odevzdáno do konce zkouškového období zimního semestru. Vyřešení zápočtového problému nelze nahradit jiným způsobem.
Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část se skládá z jednoho příkladu rozsahu odpovídajícímu příkladům řešených na cvičení. Ústní část zahrnuje dvě otázky na témata z aktuálního sylabu v rozsahu probíraném na přednášce.
Hodnocení vychází z celkového výkonu studenta jak v písemné, tak ústní části.
Při nesložení zkoušky další termín obsahuje opět jak písemnou, tak ústní část.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
The credit is awarded for a correct solution of a problem given to the students during the term. If the solution of the problem is not satisfactory, it is returned to the student for revisions. The correct solution has to be submitted to the examiner before the beginning of the spring term. The condition for the credit cannot be fulfilled by other means.
The examination has written and oral parts. The written part contains one problem similar to those solved during the term at seminars. The oral part contains two questions on topics covered by the lectures.
Evaluation is based both on the written and oral parts.
A repeated exam contains both the written and oral parts again.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Literatura -
O. Kowalski: Základy Riemannovy geometrie, skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.
P. Krtouš: Geometrické metody ve fyzice, studijní text, WWW, 2006-2014.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.
R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)
C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, 1973.
R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
R. Penrose, W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2011.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
Ch. J. Isham: Modern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
J. M. Lee: Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics Vol. 107, AMS, 2009.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (23.09.2021)
Metody výuky -
Metodou výuky je přednáška a cvičení.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)
The teaching method is a lecture and a seminar.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (01.09.2014)
Požadavky ke zkoušce -
Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část se skládá z jednoho příkladu rozsahu odpovídajícímu příkladům řešených na cvičení. Ústní část zahrnuje dvě otázky na témata z aktuálního sylabu v rozsahu probíraném na přednášce.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
The examination has written and oral parts. The written part contains one problem similar to those solved during the term at seminars. The oral part contains two questions on topics covered by the lectures.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Sylabus -
Tenzorový počet
vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů
Diferencovatelné variety
základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky