Vektory a tenzory. Křivočaré souřadnice a vektorová analýza. Úvod do teorie distribucí, Fourierova transformace,
Greenovy funkce. Klasická teorie pole, lagrangeovský a hamiltonovský formalismus. Multipólový rozvoj v
tenzorové podobě. Feynmanova formulace kvantové mechaniky, dráhový integrál.
Proseminář je určen pro studenty 2. ročníku. Jedná se o doplňkovou přednášku zaměřenou na využití
matematických metod ve fyzice. Důraz je kladen na aparát využívaný na přednáškách z Klasické elektrodynamiky
a v Úvodu do kvantové mechaniky.
Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)
Vector and tensor calculus, curvilinear coordinates. Introduction to distributions, Fourier transformation, Green
functions. Introduction to classical field theory. Multipole expansion in a tensor form. Feynman formulation of
quantum mechanics.
Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2021)
Podmínky zakončení předmětu
Zápočet bude udělen za dostatečnou účast na hodinách a správné vypracování domácích úloh.
Povaha kontroly splnění podmínek pro udělení zápočtu vylučuje opakování této kontroly, tedy zápočet se opakovat nedá.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (29.01.2021)
Literatura
K. Kuchař: Základy obecné teorie relativity, Academia, Praha 1968.
L. Schwartz: Matematické metody ve fyzice, SNTL, Praha 1972
J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha 1970.
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. L. Sands, Feynmanovy přednášky z fyziky 3, Fragment, Havlíčkův Brod 2002.
R. P. Feynman: Neobyčejná teorie světla a látky, Aurora, Praha 2001.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (29.01.2021)
Sylabus -
Tenzorový počet
Vektory a kovektory. Tenzory, tenzorový součin a zúžení, transformace souřadnic, diagramatické značení.
Skalární součin a metrika, Levi-Civitův tenzor.
Křivočaré souřadnice a vektorová analýza
Tenzorová pole, gradient a nabla-operátor. Křivočaré souřadnice, ortonormální triády, vektorové operátory v křivočarých souřadnicích. Integrování vektorů a tenzorů.
Úvod do teorie distribucí
Zavedení distribucí a jejich vlastnosti. Příklady: δ-distribuce, derivace nespojité funkce, regularizace 1/x. Fourierova transformace distribucí, příklady. Distribuce na varietě, charakteristické funkce, plošná a lineární δ-distribuce a jejich derivace. Aplikace: bodové, lineární a plošné zdroje, dipóly, hraniční podmínky v elektrostatice a magnetostatice, elektrické pole v okolí vodičů.
Greenovy funkce
Greenovy funkce v jedné proměnné. Greenova funkce Laplaceova operátoru, Laplaceova rovnice na oblasti s hranicí, řešení rovnice vedení tepla.
Klasická teorie pole
Princip extremální akce, lagrangeovský a hamiltonovský formalismus pro pole, skalární a elektromagnetického pole, kalibrační symetrie.
Dodatky ke klasické elektrodynamice
Multipólový rozvoj v tenzorové podobě. Popis kontinua v STR, tenzor energie-hybnosti a tok náboje pro nabitý prach, zákony zachování.
Od sčítání přes dráhy k řešení diferenciálních rovnic
Feynmanova formulace kvantové mechaniky: kvantové historie, kvantová nerozlišitelnost, pravidla pro amplitudy, model měření. Dráhový integrál, amplituda vývoje volné částice, perturbační řešení Schrödingerovy rovnice.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (29.01.2021)
Vectors and tensors.
Affine space, vectors and linear forms, tensors, coordinate transformations, diagrammatic notation, scalar product and metric.
Curvilinear coordinates and vector analysis.
Tensor fields, gradient and nabla-operator, curvilinear coordinates, triads. Integrating vectors and tensors.
Introduction to distributions.
Basic definitions and properties, δ-distribution, derivatives of non-smooth functions, regularization of 1/x. Fourier transformation of distribution, examples. Distribution on manifolds, characteristic function, surface and linear δ-distributions and their derivatives. Aplications: point, linear and surface sources, dipoles, boundary conditions for electrostatic a magnetostatic, electric field near conductors.
Green functions
Green functions in one variable. Green function for Laplace operator, Laplace equation on a domain with a boundary, heat equation, perturbative solution of Schrödinger equation with potential.
Classical field theory
Lagrange and Hamilton formalism for fields, scalar and electromagnetic field, gauge symmetry.
Supplements for classical electrodynamics
Multipole expansion in terms of tensors. Description of continuum is spacetime, stress-energy tensor, electric current density, conservation laws.
From sum over trajectories to solution of differential equations.
Feynman's formulation of quantum mechanics: quantum histories, quantum indistinguishability, amplitude rules, measurement model. Path integral, amplitude of free particle evolution, perturbative solution of Schrödinger equation.
Poslední úprava: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (29.01.2021)
