Aposteriorní numerická analýza metodou vyvážených toků - NMNV464

• Anglický název: A Posteriori Numerical Analysis Based on the Method of Equilibrated Fluxes
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D.
• Třída: M Mgr. NVM; M Mgr. NVM > Volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
• Neslučitelnost : NNUM054
• Záměnnost : NNUM054
• Je záměnnost pro: NNUM054

Anotace

čeština

Přednáška se zabývá odhady chyby v přibližném numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Důraz je kladen na zaručené a plně spočítatelné odhady. Je představen jednotný rámec zahrnující klasické numerické metody (FEM, DGFEM,...). Teorie je odvozena pro řadu praktických problémů. Zdůrazněno je využití odhadů pro efektivní numerické výpočty (adaptivní zjemňování sítě, adaptivní volba časového kroku, včasné zastavení lineárních a nelineárních řešičů).

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (15.01.2019)

angličtina

The course treats estimates of the error in approximate numerical solution of partial differential equations. The impact is on guaranteed and fully computable estimates. A unified framework for classical numerical methods (FEM, DGFEM,...) is introduced. The theory is developed for a large variety of problems. The emphasis is on the use of the estimates for efficient numerical calculation (adaptive mesh refinement, adaptive choice of the time step, stopping criteria for linear and nonlinear solvers).

Poslední úprava: T_KNM (27.04.2015)

Cíl předmětu

čeština

Přednáška odvozuje plně spočítatelné odhady chyby v numerickém řešení parciálních

diferenciálních rovnic pomocí metody vyvážených toků.

Poslední úprava: Vlasák Miloslav, RNDr., Ph.D. (12.02.2018)

angličtina

The course derives fully computable estimates on the error in numerical solution of partial differential equations via the method of equilibrated fluxes.

Poslední úprava: T_KNM (02.04.2015)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Písemná zkouška

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (11.06.2019)

angličtina

Written examination

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (11.06.2019)

Literatura

Vohralík, M., A posteriori error estimates for efficiency and error control in numerical simulations, skripta.

Ainsworth, M., Oden, J.T., A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley-Interscience, New York, 2000.

Repin, S.I., A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.

Verfürth, R., A posteriori error estimation techniques for finite element methods. Oxford University Press, Oxford, 2013.

Poslední úprava: T_KNM (02.04.2015)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Studenti budou zkoušeni pomocí psaného testu sestávajícího z otázek probraných na přednáškách.

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (11.06.2019)

angličtina

Students will be examined by written test with questions corresponding to the material addressed at the lectures.

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (11.06.2019)

Sylabus

čeština

Základní vlastnosti aposteriorního odhadu: zaručený odhad, lokální efektivita, asymptotická přesnost, robustnost zhledem k parametrům, nízká výpočetní náročnost, rozlišení složek celkové chyby.

Matematický rámec: spojitost potenciálu a spojitost normálové složky toku (prostory H1 a H(div)), primární a duální variační formulace, Greenova věta, Pragerova a Syngeova věta, Poincarého a Friedrichsova nerovnost, reziduál parciální diferenciální nerovnice, energetická norma a duální normy.

Konstrukce a vlastnosti odhadů: rekonstrukce potenciálu, rekonstrukce toku, ekvilibrace pomocí smíšené metody konečných prvků, ekvivalence s chybou.

Teorie pro modelové problémy: Laplaceova rovnice, rovnice advekce-reakce-difúze, Stokesova rovnice, nestacionární rovnice vedení tepla, nelineární Laplaceova rovnice.

Aplikace na základní numerické metody: metoda konečných prvků, nekonformní metoda konečných prvků, smíšená metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, metoda konečných objemů.

Použití odhadů: adaptivní zjemňování prostorových sítí, adaptivní zjemňování časového kroku, zastavovací kritéria pro lineární řešiče, zastavovací kritéria pro nelineární řešiče.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (15.01.2019)

angličtina

Basic properties of an a posteriori estimate: guaranteed upper bound, local efficiency, asymptotic exactness, robustness with respect to parameters, low evaluation cost, distinction of error components.

Mathematical framework: continuity of the potential and continuity of the normal trace of the flux: the spaces H1 and H(div), primal and dual variational formulations, Green theorem, Prager and Synge theorem, Poincaré-Friedrichs-Wirtinger inequalities, residual of a partial differential equation, energy norm and dual norms.

Construction and evaluation of the estimators: potential reconstruction, flux reconstruction, equilibration using the mixed finite element method, equivalence with the error.

Theory for model problems: Laplace equation, the advection-diffusion-reaction equation, the Stokes equation, the unsteady heat equation, the nonlinear Laplace equation.

Application to classical numerical methods: conforming finite element method, nonconforming finite element method, mixed finite element method, discontinuous Galerkin method, finite volume method.

Use of the estimates: adaptation of spatial meshes, adaptation of the time step, stopping criteria for linear solvers, stopping criteria for nonlinear solvers.

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (19.12.2018)

Vstupní požadavky

čeština

Teorie lineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic druhého

řádu, základy funkcionální analýzy a metody konečných prvků.

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (17.05.2019)

angličtina

Theory of the linear elliptic partial differential equations of second

order, basics of the functional analysis, and finite element method.

Poslední úprava: Vohralík Martin, prof. Ing., Ph.D. (17.05.2019)