Úvod do numerické matematiky - NMNM211

• Anglický název: Introduction to Numerical Mathematics
• Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: letní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://michaloutrata.com/#teaching
• Garant: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D.
• Vyučující: Mgr. Michal Outrata, Ph.D.
• Třída: M Bc. FM; M Bc. FM > Povinné; M Bc. FM > 2. ročník
• Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
• Prerekvizity : {Aspoň jeden kalkulus 1. roč.}
• Neslučitelnost : NNUM009
• Záměnnost : NNUM009
• Je záměnnost pro: NNUM009

Anotace

čeština

Základní kurs numerické matematiky pro bakalářský obor Finanční matematika.

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

angličtina

The first course of numerical analysis for students of Financial Mathematics.

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Cíl předmětu

čeština

Cílem předmětu je představení standardních úloh numerických výpočtů se zaměřením na finanční aplikace a základního arsenálu metod a ideí pro jejich řešení. Důraz je kladen na porozumění silných a slabých stránek jednotlivých metod a na jejich vzájemné propojení a komplementaritu.

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (20.01.2025)

angličtina

a review of basic computational tools, practical excersises

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Pro získání zápočtu je třeba splnit obě následující podmínky:

1. Získat alespoň 2/3 bodů z kvízů v průběhu semestru.

• Kvízy tématicky kopírují sylabus a jsou zveřejňovány vždy po dokončení tématu (některá menší témata jsou dána do kvízů pod dvou).

• Kvízy se vyplňují online (google forms), bez možnosti opravy.

• Každý kvíz má 5 otázek "klikacích" a 1 bonusovou otázku "psací".

• Každá otázka je hodnocena 0 body nebo 1 bodem a počítá se 5 nejlepších otázek v každém kvízu (tj. 3 správně zodpovězené otázky odpovídají 2/3 bodů z kvízu).

• Na vyplňování kvízů je možné spolupracovat (společně diskutovat otázky), ale nikoliv opisovat (např. bonusová otázka).

2. Získat alespoň 7/10 bodů z jednoho přiděleného "projektu".

• Projekty budou zadány formou jednoho přiděleného google-colab dokumentu k vypracování.

• Výsledkem bude vypracovaný google-colab (tedy nutně spustitelný), produkující řešení v souladu s výkladem a vaším porozumněním látky.

• Projekty budou přiděleny během prvního týdne semestru.

• Projekty je možné konzultovat s ostatními studenty/studentkami a i na konzultacích s vyučujícím.

• Zpravidla vyjde totožný projekt na několik lidí. Studenti/Studentky se stejným domácím úkolem mohou pracovat dohromady a odevzdat pouze jeden soubor, ale přirozeně s rizikem a vědomím, že budou hodnoceni/y za práci svých kolegů/kolegyň.

V případech "těsného nezápočtu" může rozhodovat aktivita studenta/studentky na cvičeních nebo správnost, důkladnost a preciznost kvízových "bonusových otázek".

Zápočet je nutný ke zkoušce. „Povaha kontroly studia předmětu“ vylučuje opakování této kontroly, POS, čl. 8, odst. 2.

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (20.01.2025)

angličtina

Credit is obtained for participation in exercises and a computer test. The nature of the examination of the subject excludes repetition of the examination,

Poslední úprava: Kučera Václav, doc. RNDr., Ph.D. (29.10.2019)

Literatura

čeština

Všechna témata jsou pokryta i v kurzu "Základy numerické matematiky" (NMNM201), které mají webové stránky (https://www.karlin.mff.cuni.cz/~blechta/znm/) a na nich ručně psané poznámky od doc. Hnětýnkové a doc. Kučery.

Přestože se u všech témat liší hloubka a typ látky probrané v daném tématu, tyto poznámky jsou dobrým doplňkem k literatuře.

Všechna témata v tomto kurzu jsou také probrána v excelentní knize "Scientific Computing: An introduction using Maple and MATLAB" od autorů Walter Gander, Martin J. Gander, Felix Kwok.

Dalším skvělým materiálem jsou skripta prof. Ernst Hairer (volně dostupné na https://www.unige.ch/~hairer/), ale psaná francouzsky.

Níže jsou materiály specifické pro jednotlivá témata.

Téma 1: polynomiální interpolace a spliny

• N. L. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2013

Téma 2: podmíněnost matematických problémů a stabilita numerických algoritmů

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 3: numerická integrace

• skripta prof. Tobias Jahnke "Numerical methods in mathematical finance" (volně dostupné na https://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/nummathfin2012w/media/num-meth-math-fin.pdf , anglicky)

• skripta prof. Antoine Jacquier "Numnerical Methods in Finance" (volně dostupné na https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/NMImperial.pdf , anglicky)

Téma 5: řešení soustav nelineárních algebraických rovnic

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 6: řešení soustav lineárních rovnic I - Gaussova eliminace

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 7: řešení soustav lineárních algebraických rovnic II - ortogonální transformace a QR rozklad

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 8: řešení soustav lineárních algebraických rovnic III - iterační metody

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 9: problém nejmenších čtverců

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 11: data analysis skrze SVD

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst: Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 20001

Téma 12: problém vlastních čísel

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst: Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2000

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (20.01.2025)

angličtina

Všechna témata jsou pokryta i v kurzu "Základy numerické matematiky" (NMNM201), které mají webové stránky (https://www.karlin.mff.cuni.cz/~blechta/znm/) a na nich ručně psané poznámky od doc. Hnětýnkové a doc. Kučery.

Přestože se u všech témat liší hloubka a typ látky probrané v daném tématu, tyto poznámky jsou dobrým doplňkem k literatuře.

Všechna témata v tomto kurzu jsou také probrána v excelentní knize "Scientific Computing: An introduction using Maple and MATLAB" od autorů Walter Gander, Martin J. Gander, Felix Kwok.

Dalším skvělým materiálem jsou skripta prof. Ernst Hairer (volně dostupné na https://www.unige.ch/~hairer/), ale psaná francouzsky.

Níže jsou materiály specifické pro jednotlivá témata.

Téma 1: polynomiální interpolace a spliny

• N. L. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2013

Téma 2: podmíněnost matematických problémů a stabilita numerických algoritmů

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 3: numerická integrace

• skripta prof. Tobias Jahnke "Numerical methods in mathematical finance" (volně dostupné na https://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/nummathfin2012w/media/num-meth-math-fin.pdf , anglicky)

• skripta prof. Antoine Jacquier "Numnerical Methods in Finance" (volně dostupné na https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/NMImperial.pdf , anglicky)

Téma 5: řešení soustav nelineárních algebraických rovnic

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 6: řešení soustav lineárních rovnic I - Gaussova eliminace

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 7: řešení soustav lineárních algebraických rovnic II - ortogonální transformace a QR rozklad

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 8: řešení soustav lineárních algebraických rovnic III - iterační metody

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 9: řešení soustav lineárních algebraických rovnic IV - problém nejmenších čtverců

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2002

Téma 11: data analysis skrze SVD

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

Téma 12: problém vlastních čísel

• J. Tebbens, I. Hnětýnková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody. Matfyz press, Praha, 2023

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (16.01.2025)

Metody výuky

čeština

Kurz se skládá z přednášky v posluchárně a cvičení v počítačové učebně.

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (20.01.2025)

angličtina

The course consists of lectures in a lecture hall and exercises in a computer laboratory.

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška má praktickou a teoretickou část, přičemž rozsah obou částí odpovídá sylabu.

Praktická část:

• probíhá v počítačové učebně a je strukturovaná stejně jako zápočtový "projekt", tj. jeden google-colab dokument k vypracování.

• bude obsahově výrazně menší než zápočtový "projekt", ale bude se s jedním ze zápočtových "projektů" výrazně překrývat.

• je nutnou podmínkou postupu k teoretické části.

Teoretická část:

• je složená ze 4 tématických okruhů.

• z každého okruhu může student/studentka získat až 10 bodů.

• nutnou podmínkou pro složení zkoušky je zisk alespoň 21 bodů.

• po písemné části zkoušky bude studentům/studentkám co splnili/y nutnou podmínku nabídnuta známka.

• Nespokojení/é mohou být vyzkoušeni/y ústně s přihlédnutím k předchozím výsledkům (písemná a praktická část zkoušky, zápočtový "projekt", kvízové "bonusové otázky", ...).

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (20.01.2025)

angličtina

Examination according to the syllabus.

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Sylabus

čeština

Přednáška se skládá z 12 na sebe navazujících základních témat numerických výpočtů a simulací:

Téma 1: polynomiální interpolace a spliny

Téma 2: podmíněnost matematických problémů a stabilita numerických algoritmů

Téma 3: numerická integrace

Téma 4: numerické řešení soustav ODR

Téma 5: řešení soustav nelineárních algebraických rovnic

Téma 6: řešení soustav lineárních rovnic I - Gaussova eliminace

Téma 7: řešení soustav lineárních algebraických rovnic II - ortogonální transformace a QR rozklad

Téma 8: řešení soustav lineárních algebraických rovnic III - iterační metody

Téma 9: problém nejmenších čtverců

Téma 10: numerická optimalizace

Téma 11: data analysis skrze SVD

Téma 12: problém vlastních čísel

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (16.01.2025)

angličtina

Solving liner systems, direct methods: Gauss elimination, LU-decomposition, pivoting, Cholesky decompositon.

Least Squares: data fitting, linear least squares, normal equation, pseudoinverse, QR-decomposition.

Nonlinear systems: Fixed Point Theorem (contraction mapping), Newton's Method, Newton-like methods.

Function minimization: Nelder-Mead Method, Method of Steepest Descent, Conjugate Gradient Method.

Interpolation: Lagrange Interpolating Polynomial, Chebyshev Polynomial, splines.

Ordinary Differential Equations: initial value problem, Euler Method, implicit Euler Method, Runge-Kutta Method.

Eigenvalue problems: a primer (eigenvalue, eigenvector, Characteristic Polynomial, multiplicity, Similar Matrices, Jordan canonical form), Power Method, Inverse iteration, QR algoritmus.

Iterative Methods (linear systems): large sparse matrices, Gauss-Seidel Method, Successive Overrelaxation Method, Conjugate Gradient Method, preconditioning.

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Vstupní požadavky

čeština

Základní znalosti diferenciálního a integrálního počtu:

• limity a derivace reálných funkcí jedné a více proměnných

• integrace funkcí

• obyčejné diferenciální rovnice

Dobré pochopení základních pojmů lineární algebry:

• vektorové prostory

• matice jako lineární zobrazení

• Gaussova eliminace

• Gramm-Schmidtova ortogonalizace

• spektrální rozklad matice

• singulární rozklad matice

Znalost jazyka python

• úroveň z programování v prvním ročníku

• osvěžte si v prvním google-colab sheet

Poslední úprava: Outrata Michal, Mgr., Ph.D. (22.01.2025)

angličtina

basic knowledge of calculus and linear algebra

Poslední úprava: Janovský Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (22.02.2019)