Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (09.05.2022)
Povinný předmět pro magisterský program Matematická analýza. Prohloubení poznatků z teorie funkcí komplexní
proměnné.
Poslední úprava: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (09.05.2022)
Mandatory course for the master study program Mathematical analysis. Advanced Complex Analysis.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (07.02.2023)
Zápočet je nutnou podmínkou účasti u zkoušky. Zápočet student získá za referát přednesený na cvičení. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (07.02.2023)
The credit (zápočet) is a necessary condition for coming to examination. Students obtain the credit for giving short lectures on given topics during classes. The character of the credit does not enable its repetition.
Literatura -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (13.05.2022)
Rudin, W.: Reálná a komplexní analýza, Academia Praha, 1977
Novák, B.: Funkce komplexní proměnné (skripta), SPN Praha, 1980
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (07.02.2023)
Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce.
Poslední úprava: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D. (07.02.2023)
Requirements to the exam correspond to the syllabus to the extent to which topics were covered during the course.
Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Meromorfní funkce
Meromorfní funkce, operace s nimi, věta o jednoznačnosti,
princip argumentu, Rouchéova věta, násobnost vzorů a násobnost kořenů a pólů, věta o otevřeném zobrazení, inverzní funkce k holomorfní (lokální a globální)
Rouchéova věta pro kompakt
2. Funkce na celé rovině
Nekonečné součiny, Weierstrassova věta o faktorizaci na C, Mittag-Lefflerova věta na C, Cauchyova metoda rozkladu meromorfní funkce
3. Algebra holomorfních funkcí
Algebry C(G) a H(G) - definice, konvergence, vyčerpání otevřené množiny kompakty, pseudonormy a metrika na C(G) a H(G), vlastnosti
omezenost v C(G) a H(G), Stieltjes-Osgoodova věta, kompaktnost v H(G)
spojité lineární funkcionály na H(G)
Rungeho věta pro kompakt a pro otevřenou množinu, aproximace polynomy, Osgoodova věta
aplikace Rungeho věty (Mittag-Lefflerova věta, nepokračovatelné funkce)
4. Konformní zobrazení
Zachovávání úhlů, konformní zobrazení - definice a vztah k úhlům, konformní zobrazení na rozšířené komplexní rovině a na C, Schwarzovo lemma, Riemannova věta
5. Harmonické funkce v rovině a holomorfní funkce
Vztah harmonických a holomorfních funkcí, Poissonův integrál, vlastnost průměru, Schwarzův princip zrcadlení
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Meromorphic functions
Meromorphic functions, operations on then, uniqueness theorem,
argument principle, Rouché theorem, multiplicity of preimages and multiplicity of roots and poles, open mapping theorem, inverse to a holomorphic funkcion (local and global)
Rouché theorem for a compact
2. Functions defined on the whole complex plane
Infinite products, Weierstrass factorization theorem on C, Mittag-Leffler theorem on C, Cauchyova method of decomposing a meromorphic function
3. Algebra of holomorphic functions
Algebras C(G) a H(G) - definitions, convergence, exhausting an open set by compact subsets, seminorms and a metric on C(G) and on H(G), properties
Boundedness in C(G) and in H(G), Stieltjes-Osgood theorem, compactness in H(G)
continuous linear functionals on H(G)
Runge theorems for a compact and for an open set, approximation by polynomials, Osgood theorem
applications of Runge theorem (Mittag-Leffler theorem, functions which may not be continued)
4. Conformal mappings
Preservation of angles, conformal mappings - definition and the relationship to angle, conformal mappings on the extended complex plane and on C, Schwarz lemma, Riemann theorem
5. Harmonic functions in the plane and holomorphic functions
Relationship of harmonic and holomorphic functions, Poisson integral, mean value property, Schwarz reflexion principle
Vstupní požadavky -
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
Základy komplexní analýzy v rozsahu předmětu NMMA301 Úvod do komplexní analýzy.
Poslední úprava: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
Elements of complex analysis as covered by course NMMA301 Introduction to Complex Analysis
