Komplexní analýza - NMMA410

• Anglický název: Complex Analysis
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: letní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D.
• Záměnnost : NMMA338
• Je záměnnost pro: NMMA338

Anotace

čeština

Povinný předmět pro magisterský program Matematická analýza. Prohloubení poznatků z teorie funkcí komplexní proměnné.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (09.05.2022)

angličtina

Mandatory course for the master study program Mathematical analysis. Advanced Complex Analysis.

Poslední úprava: Pyrih Pavel, doc. RNDr., CSc. (09.05.2022)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zápočet je nutnou podmínkou účasti u zkoušky. Zápočet student získá za referát přednesený na cvičení. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.

Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (07.02.2023)

angličtina

The credit (zápočet) is a necessary condition for coming to examination. Students obtain the credit for giving short lectures on given topics during classes. The character of the credit does not enable its repetition.

Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (07.02.2023)

Literatura

čeština

Rudin, W.: Reálná a komplexní analýza, Academia Praha, 1977

Novák, B.: Funkce komplexní proměnné (skripta), SPN Praha, 1980

Luecking, D.H., Rubel, L.A.: Complex Analysis, A Functional Analysis Approach, Springer-Verlag, Universitext, 1984

Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (13.05.2022)

angličtina

Rudin, W.: Real and complex analysis, , McGraw-Hill, New York, 1966.

Luecking, D.H., Rubel, L.A.: Complex Analysis, A Functional Analysis Approach, Springer-Verlag, Universitext, 1984

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (13.05.2022)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce.

Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (07.02.2023)

angličtina

Requirements to the exam correspond to the syllabus to the extent to which topics were covered during the course.

Poslední úprava: Lávička Roman, doc. RNDr., Ph.D. (07.02.2023)

Sylabus

čeština

1. Meromorfní funkce

Meromorfní funkce, operace s nimi, věta o jednoznačnosti,

princip argumentu, Rouchéova věta, násobnost vzorů a násobnost kořenů a pólů, věta o otevřeném zobrazení, inverzní funkce k holomorfní (lokální a globální)

Rouchéova věta pro kompakt

2. Funkce na celé rovině

Nekonečné součiny, Weierstrassova věta o faktorizaci na C, Mittag-Lefflerova věta na C, Cauchyova metoda rozkladu meromorfní funkce

3. Algebra holomorfních funkcí

Algebry C(G) a H(G) - definice, konvergence, vyčerpání otevřené množiny kompakty, pseudonormy a metrika na C(G) a H(G), vlastnosti

omezenost v C(G) a H(G), Stieltjes-Osgoodova věta, kompaktnost v H(G)

spojité lineární funkcionály na H(G)

Rungeho věta pro kompakt a pro otevřenou množinu, aproximace polynomy, Osgoodova věta

aplikace Rungeho věty (Mittag-Lefflerova věta, nepokračovatelné funkce)

4. Konformní zobrazení

Zachovávání úhlů, konformní zobrazení - definice a vztah k úhlům, konformní zobrazení na rozšířené komplexní rovině a na C, Schwarzovo lemma, Riemannova věta

5. Harmonické funkce v rovině a holomorfní funkce

Vztah harmonických a holomorfních funkcí, Poissonův integrál, vlastnost průměru, Schwarzův princip zrcadlení

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

angličtina

1. Meromorphic functions

Meromorphic functions, operations on then, uniqueness theorem,

argument principle, Rouché theorem, multiplicity of preimages and multiplicity of roots and poles, open mapping theorem, inverse to a holomorphic funkcion (local and global)

Rouché theorem for a compact

2. Functions defined on the whole complex plane

Infinite products, Weierstrass factorization theorem on C, Mittag-Leffler theorem on C, Cauchyova method of decomposing a meromorphic function

3. Algebra of holomorphic functions

Algebras C(G) a H(G) - definitions, convergence, exhausting an open set by compact subsets, seminorms and a metric on C(G) and on H(G), properties

Boundedness in C(G) and in H(G), Stieltjes-Osgood theorem, compactness in H(G)

continuous linear functionals on H(G)

Runge theorems for a compact and for an open set, approximation by polynomials, Osgood theorem

applications of Runge theorem (Mittag-Leffler theorem, functions which may not be continued)

4. Conformal mappings

Preservation of angles, conformal mappings - definition and the relationship to angle, conformal mappings on the extended complex plane and on C, Schwarz lemma, Riemann theorem

5. Harmonic functions in the plane and holomorphic functions

Relationship of harmonic and holomorphic functions, Poisson integral, mean value property, Schwarz reflexion principle

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

Vstupní požadavky

čeština

Základy komplexní analýzy v rozsahu předmětu NMMA301 Úvod do komplexní analýzy.

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)

angličtina

Elements of complex analysis as covered by course NMMA301 Introduction to Complex Analysis

Poslední úprava: Kalenda Ondřej, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (09.05.2022)