Principy harmonické analýzy - NMAG533

• Anglický název: Principles of Harmonic Analysis
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2022 do 2022
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• Virtuální mobilita / počet míst: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic pro jiné grupy než translační a abelovskou grupu R^n. První část přednášky.

angličtina

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

General harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis and the correspondiong analysis of partial differential equations for other groups than the translational R^n. First part of the lecture.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.07.2020)

Naučit základy harmonické analýzy na lokálně kompaktních grupách.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.01.2017)

Study of harmonic analysis for locally compact groups.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.07.2020)

Získání zápočtu a složení zkoušky, která je ústní s písemnou přípravou, a to i ve formě absenční přes on-line platformy. Zápočet je udělen v případě aktivní účasti na cvičení nebo za vypracovaní 10 domácích úloh (v případě absence na cvičeních nebo při absenční výuce).

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (27.10.2019)

Credit and exam, which is oral with a written preparation. Credit is given by an active presence at exercises (computing at the black-borad) or by computing 15 exercises at home, aliquoat counting.

Literatura

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.01.2017)

Deitmar, A., Echterhoff, S., Principlesof harmonic analysis

Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989

Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (13.05.2015)

Přednáška a cvičení.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (13.05.2015)

Lecture and exercise.

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.05.2015)

Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných situacích.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.05.2015)

We test the knowledge of definitions, theorems and their application.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (14.06.2022)

1) Úvod: Fourierova transformace a Fourierovy řady, F. transformace "gaussiánu" pomocí Cauchyovy věty pro holomorfní funkce

2) Opakování topologie (iniciální a finální topologie, lokální kompaktnost, kompaktifikace, Alexandrovova kompaktifikace, Tychonovova věta o součinu kompaktních prostorů) a opakování teorie míry (definice a příklady, Borelových a Radonových mměr)

3) Opakování: Kompaktní-otevřená topologie, lokálně stejnoměrná konvergence na kompaktech, a Banachova-Alaogluova věta

4) Základy Banachových, Banachových-* a C*-algeber (spektrum, rezolventa, věta Gelfanda a Mazura bez důkazu), příklady: C(X), B(H), D (algebra disku)

5) Věta o Gelfandově transformaci, věta Stone--Weierstrasse a Gelfanda--Naimarka (podlední dvě bez dk.)

6) Lokálně kompaktní grupy (definice a příklady), Haarova míra na lokálně kompaktních topologických grupách (existence s důkazem, jednoznačnost bez důkazu) modulární funkce Haarovy míry

7) Základní pojmy z teorie reprezentací (topologických) grup: Schurovo lemma (o splétajících operátorech), reprezentace komutativnícch grup; grupa charakterů grup

8) L^1(G) s konvolucí a L^1-normou je Banachova algebra; grupová algebra konečné grupy. Fourierova transformace na L^1(G), F. t. je homomorfizmus (L^1(G),*) a (L^1(G),.).

9) Charaktery. Charaktery Z, S^1, R^n. Charaktery jako lokálně kompaktní grupa, Plancherelova míra a věta (bez dk.)

10) Pontrjaginova dualita (náčrt důkazu.)

11) Poissonova sumační formule na lokálně kompaktních abelovských grupách (transformace theta-funkcí)

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (14.06.2022)

1) Introduction: Fourier transform and Fourier series, F. transform of Gaussian (by Cauchy theorem)

2) Recall of Topology (final and initial topology, local compactness, compactification, Alexandrov compactification, Tychonov theorem on products of compact sets) and basics on Measure theory (definitions, exapmles, Borel and Radon measures)

3) Compact-open topology, locally uniform convergence on compact sets and Banach--Alaoglu theorem

4) Basics on Banach, Banach-* and C*-algebras (spectrum, resolvent, theorem of Gelfand and Mazur without proof), examples: C(X), B(H), D (disc algebra)

5) Theorem on the Gelfand transform, theorem of Stone-Weierstrass and Gelfand-Naimark (two last without proof)

6) Locally compact groups (definition and examples), Haar measure for locally compact groups (existence with proof, uniqueness without proof), modular functions

7) Basics on representation theory of (topological) groups: Schur lemma (on intertwining homomorphisms), representations of commutative groups, characters of groups

8) L^1(G) with convolution and L^1-norm is Banach *-algebra, group algebra of a finite group, Fourier transform on locally compact groups, F. t. is homomorphism of (L^1(G),*) and (L^1(G), . )

9) Characters. Characters of Z, S^1, R^n. Characters as a locally compact group, Plancherel measure and theorem (without proof)

10) Pontryagin duality (proof)

11) Poisson summation formula on locally compact abelian groups (if time permits transformation rules for theta-functions)