Kvadratické formy a třídová tělesa II - NMAG456

• Anglický název: Quadratic forms and class fields II
• Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina, čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://danicolas.github.io/teaching/QF2023-2024
• Poznámka: předmět lze zapsat opakovaně
• Garant: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Vyučující: Nicolas Daans, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra

Anotace

čeština

Teorie třídových těles, která výrazným způsobem zobecňuje zákon kvadratické reciprocity, tvoří základ pro řadu pokročilejších oblastí teorie čísel včetně Langlandsova programu. V zásadě v ní jde o popis abelovských rozšíření číselných těles a p-adických čísel. Během přednášky vyložíme hlavní tvrzení této teorie pro globální nebo lokální tělesa včetně hlavních nástrojů pro jejich důkazy a různých aplikací, zejména na strukturu číselných těles a kvadratických forem. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu posluchačů.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

angličtina

Class field theory, which provides a substantial generalization of quadratic reciprocity law, forms the foundation for many advanced areas of number theory including Langlands program. In principle, it is concerned with the description of abelian extensions of number fields and p-adic numbers. In the course we will explain the main statements of this theory for global or local fields including the main tools for their proofs and various applications, mostly on the structure of number fields and quadratic forms. Specific choice of topics will depend on the interests of participants.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

Podmínky zakončení předmětu

Předmět je zakončen ústní zkouškou. Alternativně (po dohodě s vyučujícím) může být splněn úspěšným řešením netriviálních úloh zadaných během semestru.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (16.02.2023)

Literatura

čeština

James A. Milne, Class Field Theory, online.

David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989.

Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

Požadavky ke zkoušce

Zkouška bude ústní s cca 60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách. Alternativně (po dohodě s vyučujícím) může být splněn úspěšným řešením netriviálních úloh zadaných během semestru.

Poslední úprava: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (16.02.2023)

Sylabus

čeština

Zúplnění, adely a idely

Hlavní věty teorie třídových těles, Hilbertovo třídové těleso

Artinovo zobrazení

Nástroje k důkazům: L-funkce a kohomologie grup

Čebotarevova věta o hustotě

Hasseho lokální-globální princip pro kvadratické formy

Vyšší věty o reciprocitě, Hilbertův symbol

Lokální třídová tělesa: Lubin-Tateova teorie

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)

angličtina

Completions, adeles and ideles

Main theorems of class field theory, Hilbert class field

Artin map

Proof tools: L-functions and group cohomology

Tchebotareff density theorem

Hasse local-global principle for quadratic forms

Higher reciprocity laws, Hilbert symbol

Local class fields: Lubin-Tate theory

Poslední úprava: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (09.05.2018)