Klasické grupy a jejich invarianty - NMAG448

• Anglický název: Classical groups and their invariants
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2021
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: letní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Petr Somberg, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Petr Somberg, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie

Anotace

čeština

Budou zkoumány invarianty akcí klasických grup. Půjde především akce, jenž jsou indukovány reprezentacemi příslušných grup na vektorových prostorech. Invariantem v tomuo užším konextu rozumíme zobrazení z vektorového prostoru do jiného vektorového prostoru. Typickými příklady jsou např. stopa endomorfizmu A z End(V) nebo determinant. V aplikacích s zaměříme především na polynomiální invarianty tzv. binárních n-ik, tedy na invaraiantní polynomy definované na prostoru polynomu P^n(C^2). Determinant je příkladem invariantu v případě binárních kvadrik.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

angličtina

Invariants of classical groups will be studied, mainly those induced by actions on vector spaces. Invariants are traces of endomorphisms or determinants. Hereby we mean that these objects are invariants with respect to the adjoint action of the appropriate general linear group. In the application of the theory, we focus to the case of polynomial invariants of binary n-ics, i.e., invariant polynomials defined on the space of polynomials P^n(C^2). The discriminant of a binary quadric is an example of such an invariant for n = 2.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Cíl předmětu

čeština

Naučit základy teorie invariantů pro tzv. klasické grupy.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

angličtina

Study of invariants for classical groups

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

Podmínky zakončení předmětu

Podmínky pro udělení zápočtu - referát.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (05.05.2020)

Literatura

čeština

Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre

Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classcial Groups,

Griffiths, Harris, Representation theory

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

angličtina

Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre

Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classical Groups,

Griffiths, Harris, Representation theory

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

Metody výuky

čeština

Studijní text k přednášce, poskytnutý přednášejícím.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (05.05.2020)

angličtina

Lecture notes prepared by the lecturer.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (05.05.2020)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je písemná,známka se stanoví na základě bodového ohodnocení písemné zkoušky. Cílem písemné zkoušky je ověřit znalost předmětu v rozsahu studijního textu, který

připravil přednášející.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (05.05.2020)

angličtina

Examination is written, its aim is to test the knowledge of the material contained in the lecture notes prepared by the lecturer.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (05.05.2020)

Sylabus

čeština

1) Lineární algebraické grupy, klasické grupy a jejich Lieovy algebry, reálné formy komplexních algebraických grup.

2) Regulární a lokálně regulární reprezentace lineárních algebraických grup.

3) Klasifikace ireducibilních representací klasických grup pomocí nejvyšších vah, úplná rozložitelnost jejich representací.

4) Fourierova analýza na grupové algebře konečné grupy, klasifikace ireducibilních representací grupy permutací.

5) Representace asociativních algeber, věta o dvojím komutantu.

6) Klasická teorie invariantů pro GL(V), O(V) a Sp(V). Howeovy duality, Schur-Weylova dualita

6) GL, SO, Sp-invarianty a jejich kombinatorika

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

angličtina

1) Linear algebraic groups, classical groups and their Lie algebras, real forms of complex algebraic groups.

2) Regular and locally regular representations.

3) Classification of irreducible representations of classical groups using highest weights, complete reducibility.

4) Fourier analysis on the group algebra of a finite group, classification of irreducible representations of the group of permutations.

5) Representations of associative algebras, double commutant theorm.

6) Invariants for GL, SO and Sp groups.

Poslední úprava: Souček Vladimír, prof. RNDr., DrSc. (01.03.2020)

Vstupní požadavky

čeština

Lineární algebra, analýza na varietách, základy Lieových grup a algeber.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2021)

angličtina

Linear algebra, analysis on manifolds, basics of Lie algebras.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (11.06.2021)