PředmětyPředměty(verze: 806)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Úvod do analýzy na varietách - NMAG335
Anglický název: Introduction to Analysis on Manifolds
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2015
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc.
Mgr. Lukáš Krump, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MA
M Bc. OM > Zaměření MSTR
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie
Neslučitelnost : NGEM002
Záměnnost : NGEM002
Ve slož. prerekvizitě: NMAG349
Anotace -
Poslední úprava: T_MUUK (09.05.2013)

Jeden z úvodních kursů v oblasti obecné diferenciální geometrie. Spojují se zde pojmy z algebry a reálné analýzy a rozvíjejí se v novém, geometrickém směru. Jsou vybudovány pojmy tenzorové a vnější algebry, diferenciální formy na R^n a jejich integrály přes k-rozměrné plochy v R^n. Zavádí se dále pojem hladké variety s krajem, tečných vektorů, vektorových a tenzorových polí, integrál z diferenciálních forem na varietě a jako zlatý hřeb je dokázána obecná Stokesova věta. Rovněž se zavádí integrál z funkce přes Riemannovu varietu.
Literatura
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (10.10.2012)

L. Krump, V. Souček, J. A. Těšínský: Matematická analýza na varietách, skriptum, Karolinum, 2008 (2. vydání).

O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, skriptum, Karolinum, 1975 (2. vydání).

M. Fecko: Diferenciálna geometria Lieovy grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava, 2008.

Sylabus -
Poslední úprava: G_M (15.05.2012)

1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské součiny variet).

2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet, tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám), tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.

3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru, vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení, symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorového prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.

4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně, algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety, vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma, přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.

5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.

6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.

7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.

Pokud možno:

8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK