PředmětyPředměty(verze: 811)
Předmět, akademický rok 2017/2018
   Přihlásit přes CAS
Úvod do analýzy na varietách - NMAG335
Anglický název: Introduction to Analysis on Manifolds
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2015
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc.
Mgr. Lukáš Krump, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MA
M Bc. OM > Zaměření MSTR
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie
Neslučitelnost : NGEM002
Záměnnost : NGEM002
Ve slož. prerekvizitě: NMAG349
Anotace -
Poslední úprava: T_MUUK (09.05.2013)

Jeden z úvodních kursů v oblasti obecné diferenciální geometrie. Spojují se zde pojmy z algebry a reálné analýzy a rozvíjejí se v novém, geometrickém směru. Jsou vybudovány pojmy tenzorové a vnější algebry, diferenciální formy na R^n a jejich integrály přes k-rozměrné plochy v R^n. Zavádí se dále pojem hladké variety s krajem, tečných vektorů, vektorových a tenzorových polí, integrál z diferenciálních forem na varietě a jako zlatý hřeb je dokázána obecná Stokesova věta. Rovněž se zavádí integrál z funkce přes Riemannovu varietu.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (13.10.2017)

Zkouška je písemná, známka se stanoví na základě bodového ohodnocení. Zisk zápočtu je podmínkou pro konání zkoušky.

Zápočet se uděluje za úspěšné absolvování zápočtové písemky.

Literatura
Poslední úprava: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (10.10.2012)

L. Krump, V. Souček, J. A. Těšínský: Matematická analýza na varietách, skriptum, Karolinum, 2008 (2. vydání).

O. Kowalski: Úvod do Riemannovy geometrie, skriptum, Karolinum, 1975 (2. vydání).

M. Fecko: Diferenciálna geometria Lieovy grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava, 2008.

Sylabus -
Poslední úprava: G_M (15.05.2012)

1. Topologická varieta (mapy, přechodové funkce, atlas), hladká varieta (differencovatelná struktura), základní příklady variet (otevřené množiny v , implicitně zadané podvariety v projektivní prostor, Grassmannovy variety, kartézské součiny variet).

2. Hladké zobrazení variet, hladké funkce na varietě, difeomorfismy variet, tečný vektor k varietě v bodě, tečný prostor k varietě v bodě, souřadnicový popis vektorů, geometrický význam vektorů (tečné vektory ke křivkám), tečné zobrazení ke hladkému zobrazení, souřadnicový popis, souvislost s Jakobiánem zobrazení.

3. Stručný souhrn tensorové algebry: tensorový součin vektorových prostorů, tensorový součin lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory, tensorová algebra vektorové-ho prostoru, vnější mocnina vektorového prostoru, vnější algebra vektorového prostoru, základní vlastnosti vnějšího násobení, symetrická mocnina vektorového prostoru, orientace vektorového prostoru, objem rovnoběžnostěnu v pomocí vnějšího součinu a pomocí Grammovy matice.

4. Tensorové pole na varietě typu (p,q), Riemannova (pseudo)-metrika na varietě (Min-kowského prostoročas), diferenciální formy stupně, algebra diferenciálních forem jako algebra nad modulem funkcí, orientace variety, vnější diferenciál diferenciální formy, jeho vlastnosti a výpočet v souřednicích, bezsouřadnicová formule pro vnější diferenciál, exaktní a uzavřené formy, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologie, Poincarého lemma, přenášení tensorových polí pomocí hladkého zobrazení, přenášení diferenciálních forem pomocí hladkého zobrazení, souřadnicové vyjádření, základní vlastnosti.

5. Varieta s krajem, její tečný prostor, diferenciální formy na ní, hladké zobrazení mezi varietami s krajem, přenášení diferenciálních forem, orientace.

6. Rozklad jednotky na varietě s krajem, existenční věta pro rozklad jednotky na varietě s krajem, integrace diferenciálních forem s kompaktním nosičem na orientované varietě s krajem, věta o výpočtu integrálu diferenciální formy přes varietu s krajem, Stokesova věta pro variety s krajem.

7. Forma objemu na (pseudo)-Riemannově varietě, integrace funkcí na (pseudo)-Rie-mannově varietě, výpočet v lokálních souřadnicích.

Pokud možno:

8. Lieova derivace tensorových polí, vnitřní součin (krácení) diferenciální formy vektorovým polem, souvislost Lieovy derivace a vnějšího diferenciálu.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK