PředmětyPředměty(verze: 849)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Úvod do teorie Lieových grup - NMAG334
Anglický název: Introduction to Lie Group Theory
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: letní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: letní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Petr Somberg, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MSTR
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Neslučitelnost : NALG018
Záměnnost : NALG018
Ve slož. prerekvizitě: NMAG349, NMAG351
Anotace -
Poslední úprava: T_MUUK (09.05.2013)
Základní kurs teorie reprezentací, která je jednou z důležitých a mocných teorií v matematice a fyzice 20. století. Zavádějí se pojmy Lieovy grupy, Lieovy algebry, je vyjasněn vztah mezi nimi a mezi jejich homomorfismy a reprezentacemi. Jsou uvedeny základní typy a příklady Lieových algeber (nilpotentní, řešitelné, jednoduché) a největší pozornost se věnuje reprezentacím tzv. polojednoduchých algeber. Zavádějí se pojmy Cartanovy podalgebry, vah, kořenů, jejichž pomocí se provede úplná klasifikace reprezentací i algeber samotných. Definuje se též Cliffordova algebra, spinory a Spin-grupa.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (21.02.2019)

Zápočet se uděluje za aktivní účast na cvičení, tj. za řešení úloh na místě nebo za náhradní domácí úkoly. Neúčast je možné nahradit zápočtovým testem na začátku zkouškového období, je třeba získat 60% bodů.

Literatura -
Poslední úprava: T_MUUK (06.05.2015)

1) Knapp: Lie Groups: Beyond an Introduction

2) Slovák: Reprezentace polojednoduchých Lieových algeber

3) Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction

4) Fulton, Harris: Representation Theory: A First Course

5) Rossmann: Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups

6) Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory

7) Gilmore: Lie Groups, Physics and Geometry

Požadavky ke zkoušce
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (28.02.2018)

Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zkoušející může přihlédnout k výsledku zápočtových testů.

Sylabus -
Poslední úprava: G_M (15.05.2012)
  • Lieova grupa,homomorfismus Lieových grup, representace Lieovy grupy.
  • Lieova algebra, příklady Lieových grup a algeber, homomorfismus Lieových algeber.
  • Levoinvariantní vektorová pole na Lieově grupě, Lieova algebra Lieovy grupy, jednoparametrická podgrupa Lieovy grupy, zobrazení exp z Lieovy algebry do Lieovy grupy a jeho vlastnosti.
  • Korespondence mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy jejich Lieových algeber.
  • Základní fakta o representacích Lieových grup a algeber - restrikce representace, faktorová representace, duální representace, součet a tensorový součin representací, splétající zobrazení, isomorfní representace, rozložitelné a ireducibilní representace.
  • Klasifikace representací sl(2,C). Schéma klasifikace irreducibilních representací jednoduchých algeber - Cartanova podalgebra, kořeny, volba částečného uspořádání, kladné a záporné kořeny, jednoduché kořeny, váha representace, váhová mříž, Weylovy komory, dominantní váhy, fundamentální váhy.
  • Klasifikace representací pro čtyři základní řady klasických (komplexních) jednoduchých algeber, konstrukce ireducibilních representací odpovídajících fundamentálním vahám, spinorové representace.
  • Dynkinovy diagramy kořenových systémů, klasifikace jednoduchých (komplexních) Lieových algeber pomocí Dynkinových diagramů.

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (22.05.2018)

Lineární algebra, analýza ve více proměnných.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK