Geometrie - NMAG204

• Anglický název: Geometry
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2020
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: letní s.:2/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. RNDr. Jan Rataj, CSc.
• Třída: M Bc. MMIT > Povinně volitelné; M Bc. OM; M Bc. OM > Povinné; M Bc. OM > 2. ročník
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie
• Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 1. roč.}
• Neslučitelnost : NGEM012, NMAG211
• Záměnnost : NGEM012, NMAG211
• Je neslučitelnost pro: NMAG211
• Je prerekvizitou pro: NMPG349
• Je záměnnost pro: NGEM012, NMAG211

Anotace

čeština

Základní přednáška z diferenciální geometrie pro studenty Obecné matematiky. Křivky a plochy v R3, sférická geometrie, Moebiova grupa, hyperbolická geometrie, první fundamentální forma plochy, Riemannova metrika, zobrazení mezi plochami, geodetiky, druhá fundamentální forma plochy, Gaussova a střední křivost, Eulerova charakteristika a Gauss-Bonnetova věta.

Poslední úprava: G_M (15.05.2012)

angličtina

Lecture on Differential geometry for students of General Mathematics. Surfaces in the three dimensional Euclidean space, the first and second fundamental forms, main curvatures of surface, Gauss and mean curvature, geodesics, geodesic curvature.

Poslední úprava: G_M (15.05.2012)

Cíl předmětu

čeština

Hlavním cílem předmětu je seznámit studenty se základy diferenciální geometrie křivek a ploch. Dále uvádí do několik dalších konceptů z aplikované, neeukleidovské, sférické a Riemannovské geometrie. Předmět rovněž propojuje řadu znalostí z lineární algebry a matematické analýzy.

Poslední úprava: Šír Zbyněk, doc. RNDr., Ph.D. (27.03.2017)

angličtina

Teaching of differential geometry of curves and surfaces.

Poslední úprava: G_M (24.04.2012)

Podmínky zakončení předmětu

Podmínkou udělení zápočtu je odevzdání 6 průběžně zadávaných domácích úkolů. Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování. Podmínkou připuštění ke zkoušce je udělený zápočet. Zkouška probíhá písemnou formou a má dvě části, početní a teoretickou.

Poslední úprava: Rataj Jan, prof. RNDr., CSc. (11.02.2020)

Literatura

čeština

A. N. Pressley: Elementary Differential Geometry. Springer 2010.

M. P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 1976.

W. Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer-Verlag, New York 1978.

L. Boček: Příklady z diferenciální geometrie. Univerzita Karlova, Praha 1974.

L. Boček, V. Kubát: Diferenciální geometrie křivek a ploch. Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1983.

J. Bureš, K. Hrubčík: Diferenciální geometrie křivek a ploch. MFF UK, Praha 1998.

Poslední úprava: Šír Zbyněk, doc. RNDr., Ph.D. (27.03.2017)

angličtina

[1] do Carmo, M., P., Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, 1976.

[2] Klingenberg W., A., Course in differential geometry, GTM 51, Springer 1978.

[3] Bures, J., Hrubcik, K., Diferencialni geometrie krivek a ploch, Karolinum, Praha, 1998.

Poslední úprava: G_M (24.04.2012)

Metody výuky

čeština

Přednáška a cvičení.

Poslední úprava: G_M (24.04.2012)

angličtina

Lecture and exercises.

Poslední úprava: G_M (24.04.2012)

Požadavky ke zkoušce

Ke zkοušce je možno přistoupit jen po získání zápočtu. Zkouška probíhá písemnou formou a má dvě části, početní a teoretickou. Je nutno získat předepsaný počet bodů z každé části.

Poslední úprava: Šír Zbyněk, doc. RNDr., Ph.D. (17.02.2018)

Sylabus

čeština

A.Úvod a připomenutí známých pojmů.

1.Motivace, Euklidovský prostor, orientace prostoru, shodná zobrazení, vektorový součin.

2.Diferenciální počet v R^n, tečný prostor, diferenciál zobrazení.

B.KŘIVKY.

3.Definice a základní vlastnosti křivek, parametrizace a reparametrizace. Křivost a torze křivky, Frenetův repér. Frenetovy formule, jejich geometrický význam a aplikace.

4.Rovinné křivky, znaménková křivost, rotační index rovinné křivky, isoperimetrická nerovnost.

C.PLOCHY.

5.Definice a základní vlastnosti ploch, tečný prostor, první fundamentální forma plochy, délky, úhly a obsahy na ploše.

6.Druhá fundamentální forma plochy, Weingartenovo zobrazení, normálová křivost, Meusnierova věta.

7.Hlavní křivosti a křivky, Gaussova a střední křivost, Eulerova forule.

8.Vnitřní geometrie plochy. Geodetické křivky na ploše.

9. Gaussova Theorema egregium a Gauss-Bonnetova věta.

10.Přímkové a rozvinutelné plochy, kvadriky, rotační plochy.

11.Základy sférické, hyperbolické a Riemannovské geometrie.

Poslední úprava: Šír Zbyněk, doc. RNDr., Ph.D. (27.03.2017)

angličtina

A. INTRODUCTION

1. Motivation. The Euclidean space and its properties.

2. Differentiation in R^n. Tangent space, differential of a mapping.

B. CURVES

3. Definition and basic properties. Curvature and torsion. The Frenet frame, Frenet formulae and its applications.

4. Curves in plane and space.

C. SURFACES

5. Definition and basic properties. The first fundamental form.

6. Second fundamental form, Weingarten's mapping.

7. Curves on a surface, principal curvatures, Gauss and mean curvature.

8. Principal and asymptotic directions and curves, isometric surfaces.

9. Intrinsic geometry of a surface, geodetic curves.

10. Introduction to hyperbolic geometry.

Poslední úprava: G_M (24.04.2012)