Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky - NMAF038

• Anglický název: Advanced Course of Group Theory for Physicists
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2020
• Semestr: letní
• E-Kredity: 4
• Rozsah, examinace: letní s.:2/1 Z+Zk [hodiny/týden]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)

Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky. Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)

An advanced course of group theory for physicists. It is following to the basic course of mathematics for physicists.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (07.02.2018)

Naučit základy Lieových grup a jejich reprezentací.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Teach basics of the representation theory of Lie groups.

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Zkouška je ústní s písemnou přípravou, nebo distanční. V distančním případě je zkouška písemná. Student pošle odpovědi zkoušejícímu.

Zkouší se porozumění probrané látce (definice, věty a důkazy) i schopnost aplikace

vět ve specifických případech, popřípadě důkaz jednoduchých důsledků probíraných vět.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

The examination is oral with a written preparation. In the case of a distance teaching, the exam is written.

Knowledge of definitions, theorems and proofs are tested which were taught during the course. Easy consequences of theorems and their application in specific cases

are tested as well.

Literatura

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007.

A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer.

D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.

S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.

R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.

V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004.

L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000.

A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991.

G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space.

G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer.

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Přednáška a cvičení na základě dostupné literatury.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Lectures and classes based on available literature.

Požadavky ke zkoušce

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Zkouší se definice, věty a jejich důkazy v rozsahu, jak byly prezentovány na přednášce, aplikace výše uvedeného ve specifických případech a důkazy důsledků probíraných vět.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Knowledge of taught definitions, theorems and their proofs, application of theorems, and proofs of easy consequences of assertions are tested

of those theorems that were presented in the lecture.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

1. Opakovaní hladkých variet: definice, příklady, příklady Lieových grup. Věta o implicitních funkcích pro variety a Lieovy grupy.

Příklady: GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), U(n), SU(n), T^n (torus), R^n.

2. Borelovy a Haarovy míry: Definice a příklady. Afinní primka, GL(n,R). Věta o Haarově míře (bez důkazu).

3. a) Reprezentace Lieových grup: invariantní podprostor, ireducibilita, (uplná) rozložitelnost, Schurovo lemma, reprezentace komutativních grup, asociované reprezentace.

Reprezentace Z, R, S^1 a R^n. Netopologická verze Pontrjaginovy duality. Souvislost Fourierových koeficentů a Fourierovy transformace.

3. b) Reprezentace kompaktních Lieových grup: uplná reducibilita, konečná rozměrnost ireducibilních reprezentací a Peterova--Weylova věta (tato bez důkazu).

Příklady: S^1, Z, R^n, C_n (cyklické), S_3, S_4 (permutační).

Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o

klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).

4. Příklady ireducibilních reprezentací: Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - dvojitého nakrytí SO(3), a O(n). Harmonické polynomy. Souvislost s přístupem k prostoru spinových stavů

volnosti z kvantové mechaniky.

5. Speciální funkce: zejmena Besselovy a Legéndreovy funkce. Speicální funkce jako maticové koeficienty reprezentací.

6. Super-vektorové prostory, super-algebry, Lieovy super-algebry. Příklady: Grassmannova algbera, gl(m|n), osp(m|n).

Přehled (Kacovy) klasifikace jednoduchých Lieových super-algeber.

7. Reprezentace Heisenbergovy grupy: Stoneova--von Neumannova věta. Segalova--Shaleova--Weilova reprezentace.

8. Reprezentace polopřímých součinů, Mackeyova věta o malé grupě. Aplikace na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a Poincarého grupy.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

1. Recall of smooth manifolds: definitions, examples, examples of Lie groups. Implicit function theorem for manifolds and Lie groups.

Examples of GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), U(n), SU(n), T^n (torus), R^n.

2. Borel and Haar measures: definition and examples. Affine line, GL(n,R). Theorem on o Haar measure (withour tproof).

3. a) Representatons of Lie groups: invariant subspace, irreducibility, (complete) reducibility, Schur lemma, representation of commutative groups, associated representations.

Representations of Z, R, S^1 a R^n. Non-topological version of Pontrjagin duality. Connection of Fourier coefficients to Fourier transform.

3. b) Representations of compact Lie group: complete reducibility, finite dimension of irreducible representations a Peter--Weyl theorem (this without a proof).

Examples: S^1, Z, R^n, C_n (cyclic), S_3, S_4 (permutation groups).

Appendix: Overview of algebraic theory of representations of Lie algebras - definition of Lie algebras, Cartan subalgebr, root, positive root, simple root, fundamental weight.

Cartans theorem on classification of irreducible representations of simple Lie algebras. Examples: sl(2,C) a sl(3,C).

4. Examples of irreducible representations: Representations of SU(2), i.e. Spin(3) - double cover of SO(3), and of O(n). Harmonic polynomials. Souvislost s přístupem k prostoru spinových stavů

volnosti z kvantové mechaniky.

5. Speciální funkce: zejmena Besselovy a Legéndreovy funkce. Speicální funkce jako maticové koeficienty reprezentací.

6. Super-vektorové prostory, super-algebry, Lieovy super-algebry. Příklady: Grassmannova algbera, gl(m|n), osp(m|n).

Přehled (Kacovy) klasifikace jednoduchých Lieových super-algeber.

7. Reprezentace Heisenbergovy grupy: Stoneova--von Neumannova věta. Segalova--Shaleova--Weilova reprezentace.

8. Reprezentace polopřímých součinů, Mackeyova věta o malé grupě. Aplikace na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a Poincarého grupy.