Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.
Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
An advanced course of group theory for physicists. It is following to the basic course of mathematics for physicists.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (07.02.2018)
Naučit základy Lieových grup a jejich reprezentací.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Teach basics of the representation theory of Lie groups.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Zkouška je ústní s písemnou přípravou, nebo distanční. V distančním případě je zkouška písemná. Student pošle odpovědi zkoušejícímu.
Zkouší se porozumění probrané látce (definice, věty a důkazy) i schopnost aplikace
vět ve specifických případech, popřípadě důkaz jednoduchých důsledků probíraných vět.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
The examination is oral with a written preparation. In the case of a distance teaching, the exam is written.
Knowledge of definitions, theorems and proofs are tested which were taught during the course. Easy consequences of theorems and their application in specific cases
are tested as well.
Literatura -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007.
A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer.
D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.
S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.
R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.
V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004.
L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000.
A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991.
G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space.
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007.
A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer.
D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.
S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.
R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.
V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004.
L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000.
A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991.
G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space.
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer.
Metody výuky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Přednáška a cvičení na základě dostupné literatury.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Lectures and classes based on available literature.
Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Zkouší se definice, věty a jejich důkazy v rozsahu, jak byly prezentovány na přednášce, aplikace výše uvedeného ve specifických případech a důkazy důsledků probíraných vět.
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Knowledge of taught definitions, theorems and their proofs, application of theorems, and proofs of easy consequences of assertions are tested
of those theorems that were presented in the lecture.
Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
1. Opakovaní hladkých variet: definice, příklady, příklady Lieových grup. Věta o implicitních funkcích pro variety a Lieovy grupy.
Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o
klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).
4. Příklady ireducibilních reprezentací: Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - dvojitého nakrytí SO(3), a O(n). Harmonické polynomy. Souvislost s přístupem k prostoru spinových stavů
volnosti z kvantové mechaniky.
5. Speciální funkce: zejmena Besselovy a Legéndreovy funkce. Speicální funkce jako maticové koeficienty reprezentací.
2. Borel and Haar measures: definition and examples. Affine line, GL(n,R). Theorem on o Haar measure (withour tproof).
3. a) Representatons of Lie groups: invariant subspace, irreducibility, (complete) reducibility, Schur lemma, representation of commutative groups, associated representations.
Representations of Z, R, S^1 a R^n. Non-topological version of Pontrjagin duality. Connection of Fourier coefficients to Fourier transform.
3. b) Representations of compact Lie group: complete reducibility, finite dimension of irreducible representations a Peter--Weyl theorem (this without a proof).
Appendix: Overview of algebraic theory of representations of Lie algebras - definition of Lie algebras, Cartan subalgebr, root, positive root, simple root, fundamental weight.
Cartans theorem on classification of irreducible representations of simple Lie algebras. Examples: sl(2,C) a sl(3,C).
4. Examples of irreducible representations: Representations of SU(2), i.e. Spin(3) - double cover of SO(3), and of O(n). Harmonic polynomials. Souvislost s přístupem k prostoru spinových stavů
volnosti z kvantové mechaniky.
5. Speciální funkce: zejmena Besselovy a Legéndreovy funkce. Speicální funkce jako maticové koeficienty reprezentací.
