PředmětyPředměty(verze: 878)
Předmět, akademický rok 2020/2021
  
Pokročilé partie z teorie grup pro fyziky - NMAF038
Anglický název: Advanced Course of Group Theory for Physicists
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2020
Semestr: letní
E-Kredity: 4
Rozsah, examinace: letní s.:2/1 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky
Anotace -
Poslední úprava: T_KMA (15.05.2008)
Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky. Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.
Cíl předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (07.02.2018)

Naučit základy Lieových grup a jejich reprezentací.

Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Zkouška je ústní s písemnou přípravou, nebo distanční. V distančním případě je zkouška písemná. Student pošle odpovědi zkoušejícímu.

Zkouší se porozumění probrané látce (definice, věty a důkazy) i schopnost aplikace

vět ve specifických případech, popřípadě důkaz jednoduchých důsledků probíraných vět.

Literatura -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007.

A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer.

D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.

S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.

R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.

V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004.

L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000.

A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991.

G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space.

G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer.

Metody výuky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Přednáška a cvičení na základě dostupné literatury.

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

Zkouší se definice, věty a jejich důkazy v rozsahu, jak byly prezentovány na přednášce, aplikace výše uvedeného ve specifických případech a důkazy důsledků probíraných vět.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)

1. Opakovaní hladkých variet: definice, příklady, příklady Lieových grup. Věta o implicitních funkcích pro variety a Lieovy grupy.

Příklady: GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), U(n), SU(n), T^n (torus), R^n.

2. Borelovy a Haarovy míry: Definice a příklady. Afinní primka, GL(n,R). Věta o Haarově míře (bez důkazu).

3. a) Reprezentace Lieových grup: invariantní podprostor, ireducibilita, (uplná) rozložitelnost, Schurovo lemma, reprezentace komutativních grup, asociované reprezentace.

Reprezentace Z, R, S^1 a R^n. Netopologická verze Pontrjaginovy duality. Souvislost Fourierových koeficentů a Fourierovy transformace.

3. b) Reprezentace kompaktních Lieových grup: uplná reducibilita, konečná rozměrnost ireducibilních reprezentací a Peterova--Weylova věta (tato bez důkazu).

Příklady: S^1, Z, R^n, C_n (cyklické), S_3, S_4 (permutační).

Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o

klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).

4. Příklady ireducibilních reprezentací: Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - dvojitého nakrytí SO(3), a O(n). Harmonické polynomy. Souvislost s přístupem k prostoru spinových stavů

volnosti z kvantové mechaniky.

5. Speciální funkce: zejmena Besselovy a Legéndreovy funkce. Speicální funkce jako maticové koeficienty reprezentací.

6. Super-vektorové prostory, super-algebry, Lieovy super-algebry. Příklady: Grassmannova algbera, gl(m|n), osp(m|n).

Přehled (Kacovy) klasifikace jednoduchých Lieových super-algeber.

7. Reprezentace Heisenbergovy grupy: Stoneova--von Neumannova věta. Segalova--Shaleova--Weilova reprezentace.

8. Reprezentace polopřímých součinů, Mackeyova věta o malé grupě. Aplikace na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a Poincarého grupy.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK