Klasifikace rovnic 2.řádu, Sobolevovy prostory, Dirichletova a Neumannova
úloha pro eliptické rovnice, smíšená úloha. Základní principy numerického
řešení. Evoluční rovnice.
Poslední úprava: ()
Classification of the equations of the second order. Weak formulation
of the Dirichlet and the Neumann problem for the elliptic equations,
mixed problems. Basic principles of the numerical solution - finite
element method. Evolution equations.
Poslední úprava: T_KG (16.05.2001)
Cíl předmětu -
Přednáška je určena pro úvodní seznámení se slabými formulacemi rovnic matematické fyziky a možnostmi jejich numerického řešení.
Poslední úprava: T_KG (26.03.2008)
The lecture is devoted to introduction into the weak formulation of equations of mathematical physics and their numerical solution.
Poslední úprava: T_KG (26.03.2008)
Podmínky zakončení předmětu
Zkouška je ústní, požadavky odpovídají sylabu v rozsahu prezentovaném na přednášce.
Poslední úprava: Matyska Ctirad, doc. RNDr., DrSc. (11.10.2017)
Literatura
K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech matematické fyziky, SNTL, Praha 1974.
M. Křížek, P. Neittaanmaki: Finite Element Approximation of Variational Problems and Applications, Longman and J. Wiley & Sons, New York, 1990.
Poslední úprava: Zakouřil Pavel, RNDr., Ph.D. (05.08.2002)
Metody výuky -
Přednáška
Poslední úprava: T_KG (11.04.2008)
Lecture
Poslední úprava: T_KG (11.04.2008)
Sylabus -
Úvodní pojmy
Klasická řešení, oblasti s Lipschitzovskou hranicí, Greenova věta, klasifikace rovnic druhého řádu, Fourierova metoda demonstrovaná na řešení skalární vlnové rovnice.
Sobolevovy prostory
Definice Sobolevova prostoru W1,2 , věta o stopách, Rellichova věta.
Lineární eliptické rovnice - slabá a variační formulace
Dirichletova úloha - formulace a interpretace slabého řešení; Lax-Milgramova věta, existence a jednoznačnost řešení; variační přístup - Gateauxův diferenciál funkcionálu potenciální energie; postačující podmínky pro existenci minima; zobecněná úloha pro eliptické rovnice - existence a jednoznačnost, Neumannův problém a podmínka rovnováhy.
Nelineární rovnice
Striktně monotónní operátory a věta o kontrakci, jednoznačnost řešení.
Spektrální řešení
Definice a vlastnosti Greenova operátoru a jeho vlastní čísla.
Konečné prvky
Základní myšlenky metody konečných prvků. Numerické příklady.
Poslední úprava: T_KG (07.05.2002)
Introductory concepts
Classical solutions, domains with the Lipschitz boundary, Green's theorem, classification of the equations of the second order, Fourier method demonstrated on the scalar wave equation.
Sobolev spaces
Definition of the Sobolev space W1,2 , trace theorem, Rellich's theorem.
Linear elliptic equations - weak and variational formulations
Dirichlet's problem - formulation and interpretation of the weak solution; Lax-Milgram theorem and uniqueness of the problem; variational approach - differentiating in the Gateaux sense of the functional of potential energy; sufficient conditions for the existence of the minimum; generalized problem for elliptic equations - existence and uniqueness, Neumann's problem and equilibrium conditions.
Nonlinear equations
Strictly monotone operators and contraction theorem, uniqueness of the solution.
Spectral theory
Definition and properties of the Green operator; eigenvalues of the Green operator.
Finite elements
Basic concepts and ideas of the finite element method. Numerical examples.
Literature:
M. Křížek, P. Neittaanmaki: Finite Element Approach of Variational Problems and Applications, Longman and J. Wiley & Sons, New York, 1990.
