Teorie míry a integrálu - NMAA068

• Anglický název: Measure and Integration Theory
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2011
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 9
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: Předměty bloku A
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Záměnnost : NMAA069, NMAA070

Anotace

čeština

Poslední úprava: T_KMA (20.05.2004)

Teorie míry a abstraktního Lebesgueova integrálu jako základ pro další studium moderní matematické analýzy a teorie pravděpodobnosti. Předpokládá se znalost Matematické analýzy prvního z prvního ročníku. Předmět je nahrazen dvojicí MAA069 a MAA070

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (20.05.2004)

Elements of the measure theory, background for probability theory. Abstract integration on measure spaces. Introduction of the Lebesgue measure. Calculus of integrals over domains, curves and surfaces. Replaced by MAA069 and MAA070

Literatura

Poslední úprava: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)

B. P. Děmidovič: Sbornik zadač i upražněnij po matematičeskomu analizu

J. Kopáček: Matematika pro fyziky IV, skripta MFF

J. Lukeš: Příklady z matematické analýzy I. Příklady k teorii Lebesgueova integrálu, skripta MFF

J. Lukeš: Teorie míry a integrálu I, skripta MFF

J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy. Míra a integrál, skripta

W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru

W. Rudin: Základy analýzy v reálném a komplexním oboru

Sylabus

čeština

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2003)

1. Základní pojmy teorie míry.

Sigma - algebra, borelovské množiny, míra, úplná míra, měřitelné funkce, jednoduché funkce.

2. Lebesgueova míra v Rn.

Vnější Lebesgueova míra a měřitelné množiny. Lebesgueova míra splňuje axiomy míry.

3. Abstraktní integrál.

Zavedení integrálu a základní vlastnosti. Záměna limity a integrálu: Fatouovo lemma, Leviho a Lebesgueova věta. Čebyševova nerovnost.

4. Integrál a míra v R.

Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu a Riemannovu integrálu (důkaz pro spojité funkce). Distribuční funkce a Lebesgue-Stieltjesova míra.

5. Integrál závislý na parametru.

Spojitost, derivování. Aplikace : výpočet určitých integrálů, funkce Gamma a Beta.

6. Integrální počet v Rn.

Geometrický význam Lebesgueova integrálu. Fubiniova věta v Rn. Věta o substituci, Polární, sférické, válcové souřadnice. Objem n-rozměrné koule. Aplikace Fubiniovy věty na výpočet jednorozměrných určitých integrálů. Laplaceův integrál.

7. Prostory Lp a konvergence posloupností funkcí.

Konvergence skoro všude, Jegorovova věta.

8. Teorie míry.

Součin měr, abstraktní Fubiniova věta. Obraz míry. Radon - Nikodymova věta a věta o Lebesgueově rozkladu. Náboje. Hahnův a Jordanův rozklad.

9. Podle času a v závislosti na programu předmětu Matematická analýza:

plošný a křivkový integrál, potenciál vektorového pole, věta o divergenci, Stokesova věta.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (22.05.2003)

1. Foundations of measure theory.

Sigma - algebra, Borel sets, measure, complete measure, measurable functions, simple functions.

2. Lebesgue measure in Rn.

Outer Lebesgue measure and measurable sets. Lebesgue measure and its properties.

3. Abstract integral.

Construction of integral on a measure space. Fatou lemma, Levi a Lebesgue theorems (monotone convergence, dominated convergence). Chebyshev's inequality nerovnost.

4. Integral and measure in R.

Relation of Lebesgue, Newton and Riemann integral. Distribution functions and Lebesgue-Stieltjes measure.

5. Integral depending on a parameter.

Continuity, differentiation. Applications in calculus, Gamma function and Beta function.

6. Integral calculus in Rn.

Fubini theorem in Rn, change of variables, polar, spherical and cylindrical coordinates. Laplace integral.

7. Lp spaces and convergence of sequences of functions.

Almost everywhere convergence, Jegorov theorem.

8. Measure theory.

Product of measures, abstract Fubini theorem. Push forward of a measure. Radon - Nikodym theorem and Lebesgue decomposition. Signed measures. Hahn and Jordan decomposition.

9. (optional.)

Curve and surface integration. Potential of a vector field. Divergence theorem, Stokes theorem.