Moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic - NDIR004

• Anglický název: Modern Theory of Partial Differential Equations
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2011
• Semestr: letní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: letní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: zrušen
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: Mat. analýza; Mat. modelování
• Kategorizace předmětu: Matematika > Diferenciální rovnice, teorie potenciálu
• Prerekvizity : NRFA006

Anotace

čeština

Využití funkcionálně analytických metod k řešení okrajových a počátečních úloh pro parciální diferenciální rovnice různých typů. Definice a vlastnosti prostorů funkcí vhodných pro hledání zobecněných řešení.

Poslední úprava: T_KMA (15.05.2001)

angličtina

Boundary value and initial-boundary value problems for partial differential equations are studied by functional analytic methods in suitable function spaces (e.g. Sobolev spaces, Bochner spaces). Theorems of Lax-Milgram and Hille-Yosida.

Poslední úprava: T_KMA (15.05.2001)

Cíl předmětu

čeština

Cílem přednášky je uvést posluchače do problematiky metod teorie parciálních diferenciálních rovnic založených na slabé formulaci rovnic, prostorech funkcí a metodách funkcionální analýzy.

Poslední úprava: JOSEF/MFF.CUNI.CZ (06.05.2008)

angličtina

The aim of the course is to introduce students to the theory of partial differential equations based on weak formulation of equations, function spaces and methods of functional analysis.

Poslední úprava: JOSEF/MFF.CUNI.CZ (06.05.2008)

Literatura

John O., Nečas J.: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972

Doktor P.:Moderní metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, SPN 1975

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999

Poslední úprava: Zakouřil Pavel, RNDr., Ph.D. (05.08.2002)

Metody výuky

čeština

Přednáška kombinovaná s cvičením.

Poslední úprava: JOSEF/MFF.CUNI.CZ (06.05.2008)

angličtina

Lecture combined with working seminar where the exercises are solved.

Poslední úprava: JOSEF/MFF.CUNI.CZ (06.05.2008)

Sylabus

čeština

I. Sobolevovy prostory.

Definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Friedrichsova věta, věty o spojitém a kompaktním vnoření, věty o stopách, Poincarého nerovnost.

II. Okrajové úlohy pro eliptické operátory.

Slabé řešení, Lax - Milgramovo lemma a jeho použití na řešitelnost Dirichletovy, Neumannovy a Newtonovy úlohy pro lineární rovnice druhého řádu. Aplikace na příkladech.

III. Spektrum lineárního eliptického operátoru.

Základní vlastnosti spektra. Fourierova metoda separace proměnných (Sturm - Liouvilleova úloha, počáteční - okrajová úloha pro parabolickou a hyperbolickou rovnici).

IV. Semigrupy.

Věta Hille - Yosidova, věta Phillips - Lumerova a jejich použití na řešení parabolických a hyperbolických úloh.

V. Energetické metody.

Galerkinova metoda pro parabolickou lineární i nelineární rovnici, teorie monotonních operátoru.

VI. Úvod do variačního počtu.

Koercivita, slabá polospojitost zdola, konvexita funkcionálu. Základní věta o existenci minima.

Poslední úprava: T_KMA (15.05.2001)

angličtina

I. Sobolev spaces

Definiton and basic properties of Sobolev spaces. Fridrichs theorem, continuous and compact embeddings, traces of Sobolev functions. Poincaré inequality.

II. Boundary value problem for elliptic operators

Weak solutions, Lax-Milgram lemma and its applications to the solvability of Dirichlet, Neumann and Newton BVP for linear equations of second order.

III. Spectrum of linear elliptic operator

Fundamental properties of spectrum. Sturm-Liouville problem.

IV. Evolution equations

Inital and boundary value problem for parabolic and hyperbolic equations. Existence and uniqueness of solutions. Separation of variables, Galerkin approximations.

V. Semigroups

Theorems of Hille-Yosida and Phillips-Lumer and their applications to evolution equations.

VI. Nonlinear equations

Galerkin approximations. Monotone operators, Calculus of variations: coerciveness, weak lower semicontinuity and convexity of functionals. Fundamental theorem of the calculus of variations.

Poslední úprava: G_M (30.05.2003)