Aplikovaná matematika III - NCHF073

• Anglický název: Applied Mathematics III
• Zajišťuje: Katedra fyziky kondenzovaných látek (32-KFKL)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2023
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Viktor Holubec, Ph.D.; RNDr. Artem Ryabov, Ph.D.
• Vyučující: Mgr. Václav Březina, Ph.D.; Julian David Giraldo Barreto; doc. RNDr. Viktor Holubec, Ph.D.; Enrique Puga Cital, M.Sc.

Anotace

čeština

Třetí přednáška čtyřsemestrálního kurzu z aplikované matematiky. Vektorový počet. Fourierova řada a Fourierova transformace. Vlastní čísla a vlastní vektory matic.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2023)

angličtina

The third semester of the four-semester course on Applied Mathematics. Vector calculus. Fourier series and Fourier transformation. Eigenvalues and eigenvectors of matrices.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2023)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Zkouška (písemná a ústní) během zkouškového období po získání zápočtu.

Podmínky zápočtu: aktivní účast, prezentování řešených úloh, úspěšné absolvování 3 písemných testů.

Zkouška:

písemná část (ke každému tematickému celku jeden příklad),

ústní část (definice a důležité věty vztahující se k příkladům z písemné části).

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (25.06.2024)

angličtina

The course credit is awarded at practicals after passing three brief (60 min.) tests, one from each major topic in the syllabus: 1) Line and surface integrals, 2) Fourier series and transform, 3) Eigenvalues and eigenvectors. Passing each test means gaining at least 50% of points from it.

After getting course credit at practicals, students can attend final exams. These exams consist of written and oral parts and take place during the examination period. The written part (60 min.) comprises solving 2 practical examples from topics 1) —3). The oral part (60 min.) is a discussion of theoretical concepts (definitions and theorems from lectures) related to the examples in the written part.

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (25.06.2024)

Literatura

čeština

[1] Kopáček, J.: Matematická analýza nejen pro fyziky III. (skriptum MFF UK, Křivkový a plošný integrál).

[2] Kopáček, J.: Matematická analýza nejen pro fyziky IV. (skriptum MFF UK, Fourierovy řady a Fourierova transformace).

[3] Bečvář, J.: Lineární algebra (Matfyzpress, Praha 2010, Maticový počet).

[4] Výborný K.: Používáme lineární algebru (Karolinum, 2002, Sbírka úloh z lineární algebry)

[5] Kvasnica J.: Matematický aparát fyziky (Academia, 1997, Obecný přehled matematiky)

[6] Karel Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky (SNTL, 1968, Obecný přehled matematiky)

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (13.06.2018)

angličtina

M. Corral, Vector Calculus, LibreTexts Mathematics.

G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition (2016).

R. T. Seeley, An Introduction to Fourier Series and Integrals, Dover Publications 2014.

Lecture notes and materials for practical exercises.

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (25.06.2024)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu probraném na přednáškách a cvičeních.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2023)

angličtina

The requirements for the exam correspond to the course syllabus to the extent that was given in the lectures and exercises.

For more details, see Moodle https://dl1.cuni.cz/course/view.php?id=16748.

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (02.10.2024)

Sylabus

čeština

Křivkový integrál 1. a 2. druhu, potenciál vektorového pole, pole s nulovou rotací.

Plošný integrál 1. a 2. druhu, Gaussovy-Greenovy věty a Stokesova věta . Integrální interpretace divergence a rotace.

Fourierovy řady, Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, derivování a integrování Fourierových řad.

Fourierova transformace pro funkce, věta o inverzi, základní použití.

Vlastní čísla a vlastní vektory matic, charakteristický polynom.

Jordanův kanonický tvar, báze složené z vlastních vektorů

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (14.05.2023)

angličtina

Line integral of scalar and vector field, vector potential, field with zero curl.

Surface integral of scalar and vector field, Gauss-Green's theorem, Stokes‘ theorem. Integral form of divergence and curl.

Fourier series, Bessel’s inequality, Parseval’s identity. Differentiation and integration of Fourier series.

Fourier transformation of functions, Fourier inversion theorem, applications.

Eigenvalues and eigenvectors of matrices, characteristic polynomial.

Jordan normal form, basis of the eigenspace.

Poslední úprava: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (02.05.2023)

Výsledky učení

čeština

Po úspěšném absolvování předmětu je student schopen:

1) Křivkové a plošné integrály, vektorová analýza

Vysvětlit pojem křivkového integrálu prvního a druhého druhu a aplikovat jej při výpočtech.

Popsat potenciál vektorového pole a charakterizovat pole s nulovou rotací.

Definovat plošné integrály prvního a druhého druhu a využívat je při řešení úloh.

Formulovat a používat Gaussovu–Greenovu větu a Stokesovu větu.

2) Fourierovy řady a Fourierova transformace

Rozvíjet funkce do Fourierových řad a pracovat s jejich vlastnostmi.

Vysvětlit a aplikovat Besselovu nerovnost a Parsevalovu rovnost.

Provádět derivování a integrování Fourierových řad za splnění příslušných podmínek.

Definovat Fourierovu transformaci funkcí a využívat ji v základních aplikacích (řešení diferenciálních rovnic, analýza signálu, výpočet konvoluce).

3) Lineární algebra – spektrální teorie matic

Určovat vlastní čísla a vlastní vektory matic.

Využít vlastní čísla a vektory k diagonalizaci matic.

Využít diagonalizaci matic k výpočtu maticových funkcí, zejména exponenciely, a také k řešení diferenciálních a doferenčních rovnic.

Vysvětlit pojem Jordanova kanonického tvaru a převádět matici do tohoto tvaru.

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (13.01.2026)

angličtina

After successful completion of the course, the student is able to:

1) Line and Surface Integrals, Vector Analysis

Explain the concepts of line integrals of the first and second kind and apply them in computations.

Describe the potential of a vector field and characterize vector fields with zero curl.

Define surface integrals of the first and second kind and use them in problem solving.

Formulate and apply the Gauss–Green theorem and Stokes’ theorem.

2) Fourier Series and Fourier Transform

Expand functions into Fourier series and work with their properties.

Explain and apply Bessel’s inequality and Parseval’s identity.

Differentiate and integrate Fourier series under appropriate conditions.

Define the Fourier transform of functions and use it in basic applications (solving differential equations, signal analysis, computation of convolutions).

3) Linear Algebra – Spectral Theory of Matrices

Determine eigenvalues and eigenvectors of matrices.

Use eigenvalues and eigenvectors to diagonalize matrices.

Apply matrix diagonalization to compute matrix functions, in particular the matrix exponential, and to solve differential and difference equations.

Explain the concept of the Jordan canonical form and transform a matrix into this form.

Poslední úprava: Holubec Viktor, doc. RNDr., Ph.D. (13.01.2026)