Výsledky projektu Užití podnětných úloh ve výuce matematiky na 2. stupni základní školy a na střední škole

Příspěvek představuje pojem sekvenčního polopravidelného šestiúhelníku a popisuje některé matematické problémy, jimiž se lze v daném úlohovém prostředí zabývat (např. hledání podobností mezi jednotlivými šestiúhelníky, popis délek stran a obvodů pomocí aritmetických posloupností, popis obsahů pomocí aritmetických posloupností druhého řádu, pokrývání roviny, kuželosečka opsaná danému šestiúhelníku).
(Sborník byl vydán v roce 2011.)

Příspěvek představuje metodu skupinově organizované práce s názvem „matematická rallye“, kdy skupinky žáků řeší postupně sérii vzájemně provázaných úkolů problémového charakteru, které jim umožní odhalit některé vlastnosti zkoumaných matematických objektů. Řešené úkoly pro žáky představují určitou obtíž, neboť vyžadují hledání vhodných strategií řešení. Daná aktivita tedy žákům poskytuje prostor k získávání zkušeností s nově objevovanými poznatky v různých kontextech a k tvorbě separovaných modelů. Dílčí řešitelské strategie představují jednotlivé objevované poznatky („connaissances“), které umožňují formulovat obecnější vědomosti („savoirs“) a jejich smysluplnou integraci a pevné ukotvení v kognitivní struktuře žáků.

Příspěvek prezentuje výsledky výzkumu, který prokázal, že prostředí skupinově organizované práce nazvané „matematické rallye“ poskytuje vhodný teoretický rámec pro pozorování, rozlišování a popis situací, v nichž žáci projevují své jednotlivé poznatky („connaissances“) a obecnější vědomosti („savoirs“).

Příspěvek popisuje aktivitu, kdy žáci vytvářeli vlastní geometrické a algebraické úlohy založené na jednoduchém dvojrozměrném modelu. Popsaná aktivita důsledně propojuje oblast geometrie a algebry, zároveň vychází z historického přístupu k výuce geometrie, a představuje tak konkrétní příklad propojení teoretické a praktické roviny výuky geometrie a učení se geometrii. (Sborník byl vydán v roce 2011.)

Příspěvek vychází z charakteristických projevů matematicky talentovaných žáků, které jsou uváděny v literatuře. Souhrn těchto projevů je doplněn výsledky provedeného průřezového výzkumu. Dále je diskutována možnost využití matematických úloh netradiční formy jako podpůrných diagnostických nástrojů k identifikaci matematicky talentovaných žáků na základě rozboru jejich přístupů k zadání těchto úloh i jejich řešení.

Příspěvek představuje kontinuální korespondenční soutěž jako jeden ze zdrojů podnětných matematických a fyzikálních úloh, které mohou učitelé využít jako inspiraci pro zpestření vyučovacích hodin.

Příspěvek uvádí výsledky průzkumu internetových aktivit, které slouží nejen k procvičování a upevňování matematického učiva, ale i jako podnět pro vlastní objevování žáků.

Příspěvek popisuje srovnávací průzkum, kdy byl soubor deseti úloh z různých oblastí matematiky předložen k vyřešení studentům 2. a 8. ročníku osmiletého gymnázia. Byl pozorován a popsán významný rozdíl v řešitelských strategiích využívaných studenty daných dvou ročníku. Srovnání výsledků však neprokázalo statisticky významný rozdíl v úspěšnosti řešení jednotlivých úloh mezi studenty sledovaných dvou tříd.

Příspěvek představuje úlohová prostředí trojúhelníků s celočíselnými délkami stran (speciálně trojúhelníky Pythagorejské, Babylónské, Heronovské a trojúhelníky s číselně stejným obsahem a obvodem) a popisuje jejich možné využití v hodinách matematiky. Jsou naznačeny souvislosti s metodami užívanými v kombinatorické geometrii i možnosti využití výpočetní techniky.

Příspěvek popisuje výukový experiment, při němž žáci základní školy vytvářeli a řešili matematické úlohy na základě jednoduchého dvojrozměrného modelu. Důraz je kladen zejména na propojení geometrie s algebrou a na možnosti využití geometrických modelů při tvorbě a řešení algebraických úloh.

Příspěvek se zabývá specifickým úlohovým prostředím Pythagorejských trojúhelníků. V tomto úlohovém prostředí je řešeno několik zajímavých úloh, jejichž cílem je určení poloměrů některých význačných kružnic trojúhelníku. (Sborník byl vydán v roce 2010.)

Příspěvek ilustruje možnost netradičního propojení algebry, geometrie a kombinatoriky. Uvedené úlohy mohou žákům sloužit jako podnět pro samostatnou tvořivou práci, jejímž výsledkem bude částečné nebo úplné řešení konkrétních předložených problémů, ale i zobecněný pohled na některé známé algebraické vlastnosti matematických objektů.

Příspěvek se zabývá komunikační tendencí „kvantitativně-kvalitativní posun“, která byla nově popsána na základě pozorování v reálných hodinách matematiky prováděných v rámci vytváření databáze komunikačních situací. Tato komunikační tendence se vztahuje k situacím, kdy učitel vychází z matematického obsahu jedné úlohy, položí však řadu různých otázek, které se od původní úlohy liší svými kvantitativními nebo kvalitativními charakteristikami.

Příspěvek popisuje výukový experiment, kdy se žáci šestého ročníku pomocí podnětných úloh naučili pracovat s programem Geogebra a zároveň se seznámili s učivem týkajícím se matematicky obtížných témat: kružnice trojúhelníku vepsané a opsané. Vlastním experimentováním pak objevili některé další vlastnosti trojúhelníků.
(Sborník byl vydán v roce 2010.)

Příspěvek analyzuje konkrétní realizaci potenciálně podnětné úlohy v rámci vyučovací hodiny. Jsou uvedeny výsledky výzkumu provedeného s učiteli matematiky a studenty učitelství, kteří se vyjadřovali k videozáznamu dané vyučovací hodiny. Konkrétní situace z této vyučovací hodiny jsou zároveň využity k ilustraci dvou komunikačních vzorců.

Sborník uvádí některá konkrétní podnětná úlohová prostředí z různých oblastí školské matematiky. Příspěvky kladou důraz především na práci s těmito úlohami v hodinách matematiky a na zkoumání možností dalšího rozpracování popsaných úlohových prostředí.

Publikace shrnuje výsledky řešení grantového projektu GAUK 4309 a je určena všem, kteří se zabývají podnětnými úlohovými prostředími na praktické či teoretické úrovni. Vychází z rešeršní práce napříč zahraniční i českou didaktickou literaturou. Tento teoretický rámec je pak propojen s analýzami realizovaných výukových experimentů, čímž přispívá k vymezení pojmu „podnětná matematická úloha“ i k vytvoření metodologie zkoumání užití podnětných úloh ve výuce. Kromě toho je v publikaci shromážděn soubor podnětných úlohových prostředí včetně praktických rad k jejich aplikaci i pracovních a metodických listů, které mohou učitelé přímo využít ve výuce.
(Publikace je připravována do tisku, bude vydána v roce 2012.)

Sborník prezentuje celou řadu přístupů k vyhledávání talentovaných žáků a práci s nimi. Významná část příspěvků je věnována vytváření podnětných úloh a úlohových prostředí, která podporují rozvoj žáků v matematice, i otázkám vhodného využití těchto úloh a prostředí v rámci vyučovacích hodin.

Publikace je uceleným zdrojem komplexních úlohových prostředí ze středoškolské matematiky, který učitelé matematiky využijí nejen při přípravě studentů k písemné maturitní zkoušce, ale především při opakování, prohlubování a integraci poznatků z jednotlivých tematických celků v rámci celého studia a pro obohacení práce v hodinách matematiky.
Je zde uvedeno 40 zadání písemných maturitních zkoušek z matematiky, která obsahují celkem 240 úloh, přičemž většina úloh je doplněna podrobným komentovaným řešením. Uvedené matematické úlohy jsou zaměřeny na matematické znalosti ze všech oblastí školské matematiky, zároveň je však kladen důraz na jejich vzájemnou provázanost.