Geometrické metody teoretické fyziky I - NTMF059

• Anglický název: Geometrical Methods of Theoretical Physics I
• Zajišťuje: Ústav teoretické fyziky (32-UTF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2014 do 2019
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/TMF059
• Garant: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D.; Mgr. Martin Scholtz, Ph.D.

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (04.02.2021)

Základy topologie; diferencovatelné variety, jejich tečné prostory, vektorová a tenzorová pole; afinní konexe, paralelní přenos a geodetické křivky, torze a křivost, prostor konexí; Riemannovy a pseudo-Riemannovy variety, Riemannova konexe; Gaussova teorie ploch, Gaussova formule; Lieova derivace, Killingovy vektory; vnější kalkulus; integrování na varietách, hustoty, integrální věty. Přednáška je určena zejména pro zájemce o teoretickou fyziku v závěru bakalářského či začátkem magisterského studia.

angličtina

Poslední úprava: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (04.02.2021)

Elements of topology; differentiable manifolds, tangent bundles, vector and tensor fields; affine connection, parallel transfer and geodesic curves, torsion and curvature; Riemann and pseudo-Riemann manifolds, Riemann connection; Gauss theory of surfaces, Gauss formula; Lie derivative, Killing vectors; exterior calculus; integration on manifolds, integrable densities.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

Cílem předmětu je seznámit posluchače s metodami diferenciální geometrie a jejich aplikacemi ve fyzice.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

The goal of this lecture is to acquaint the students with differential geometry and its applications in physics.

Literatura

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (02.02.2021)

O. Kowalski: Základy Riemannovy geometrie , skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.

P. Krtouš: Geometrické metody ve fyzice, studijní text, WWW, 2006-2014.

C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, San Francisco 1973.

S. W. Hawking a G. F. R. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1973.

R. Wald: General Relativity, Univ. of Chicago Press, Chicago 1984.

R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, vol. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1999.

M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004.

T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1999.

Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, Singapore 1989.

C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, Amsterdam 1978.

V. I. Arnold: Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math. No. 60, Springer-Verlag, New York 1978.

R. Abraham a J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, Reading 1985.

S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geomatry I, Interscience Publishers, New York 1963.

M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, New York 1970-1979.

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

Metodou výuky je přednáška a cvičení.

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (01.09.2014)

The teaching method is a lecture and a seminar.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (12.10.2017)

Tenzorový počet

vektorový prostor a jeho duál, tenzorový součin, multi-lineární zobrazení tenzorů, transformace komponent, značení tenzorů

Diferencovatelné variety

základy topologie, diferencovatelná struktura, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, Lieovy závorky

Zobrazení variet a Lieova derivace

zobrazení variet, indukované zobrazení, difeomorfismy, tok, Lieova derivace

Vnější kalkulus

vnější součin, vnější derivování, exaktní a uzavřené formy, Poincareho lemma

Riemannova a pseudoriemannova geometrie

metrika, signatura metriky, délka křivky a vzdálenost, Hodgeův duál, Levi-Civitův tenzor, koderivace, příklady maximálně symetrických prostorů a prostoročasů

Symplektická geometrie

symplektická forma, symplektický potenciál, kanonické souřadnice, Hamiltonovský tok, Hamiltonovy rovnice, symplektická struktura kotečného prostoru

Kovariantní derivace

paralelní přenos, kovariantní derivování, kovariantní diferenciál, geodetiky, normální souřadnice; tenzor torze, Riemannův tenzor, komutátor kovariantních derivací pro skalár a obecný tenzor, Bianchiho identity, Ricciho tenzor

Prostor kovariantních derivací

pseudoderivace, rozdíl dvou konexí a rozdílový tenzor, souřadnicová deriace, souřadnice konexe, n-ádová derivace, Ricciho (spinové) koeficienty, derivace anihilující metriku, tenzor kontorze

Levi-Civitova kovariantní derivace

metrická derivace, Christoffelovy symboly, rozštěpení Riemanova tenzoru, Weylův tenzor, skalární křivost, Einsteinův tenzor, einsteinovské prostory a prostory maximální křivosti

Vztah Lieovy, vnější a kovariantní derivace

vyjádření Lieovy a vnější derivace; Killingovy vektory a tenzory, symetrie a zachovávající se veličiny, Schoutenovy-Nijenhuisovy závorky

Variety s hranicí a podvariety

variety s hranicí, vnořené a vložené podvariety, přizpůsobené souřadnice; tečný a normálový prostor, vnější a vnitřní křivost, Gaussova-Codazziho formule, rozštěpení křivosti na nadplochách, 2-dimenzionální plochy, "Theorema Egregium"; distribuce, foliace a podmínky integrability, Frobeniova věta

Integrování na varietách

integrovatelné hustoty, vztah k antisymetrickým formám, integrování forem a hustot; tenzor orientace, hustotní duál, metrický a symplektický objemový element; divergence tenzorových hustot, kovariantní derivace hustot, derivace anihilující objemový element

Integrální věty

zobecněná Stokesova věta pro formy, normálová a tečná restrikce tenzorových hustot na podvarietu, integrování tenzorových hustot na podvarietách, Stokesova a Gaussova věta

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Pavel Krtouš, Ph.D. (12.10.2017)

Tensors

vector space and its dual, tensor product, multi-linear tensor maps, transformation of components, tensor notation

Manifolds

basic notion of topology, differential structure, tangent spaces, vector and tensor fields, Lie brackets

Mappings of manifolds and Lie derivative

mappings of manifolds, induced map, diffeomorphism, flow, Lie derivative

Exterior calculus

wedge product, exterior derivative, exact and closed forms, Poincaré lemma

Riemann and pseudo-Riemann geometry

metric, signature, length of curves and distance, Hodge dual, Levi-Civita tensor, coderivative, examples of Einstein spaces and maximally symmetric spaces

Symplectic geometry

symplectic form, symplectic potencial, canonical coordinates, Hamilton flow, Hamilton equations, symplectic structure of cotangent space

Covariant derivative

parallel transport, covariant derivative, covariant differential, geodesics, normal coordinates; torsion, Riemann curvature tensor, commutator of covariant derivatives for scalars and general tensors, Bianchi identities, Ricci tensor

Space of covariant derivatives

pseudo-derivative, difference of two connections and differential tensor, coordinate derivative, n-ade derivative, Ricci (spin) coefficients, derivatives annihilating metric, contorsion tensor

Levi-Civita covariant derivative

metric derivative, Christoffel symbols, splitting of Riemann tensor, Weyl tensor, scalar curvature, Einstein tensor, Einstein spaces and spaces of maximal curvature

Relations between Lie, exterior and covariant derivatives

Lie and exterior derivative in terms of covariant derivative; Killing vectors and tensors, symmetry and conserved quantities, Schouten-Nijenhuis brackets

Manifolds with boundaries and submanifolds

manifolds with boundaries, immersion and embedding, adjusted coordinates; tangent and normal spaces, intrinsic and extrinsic curvature, Gauss-Codazzi formula, curvature splitting for hypersurfaces, 2-dimensional surfaces, "Theorema Egregium"; distributions, foliations and integrability conditions, Frobenius theorem

Integration on manifolds

integrable densities, relation to anti-symmetric forms, integration of forms and densities; tensor of orientation, density dual, metric and symplectic density; divergence of tensor densities, covariant derivative of densities, derivative annihilating density

Integral theorems

generalized Stokes' theorem for forms, normal and tangent restriction of tensor densities, integration of tensor densities over submanifold, Stokes and Gauss theorems